Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§12. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ. ðÒÁ×ÉÌÁ ìÏÐÉÔÁÌÑ 99
òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ ∞
0
. ðÏÌÏÖÉÍ y(x) =
1
x
sin x
É
ÐÒÏÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÕÅÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á:
ln y(x) = ln
1
x
sin x
= sin x ln
1
x
= −sin x ln x.
ôÁË ËÁË x → 0, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 0 · ∞. ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ Å¾
Ë ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ
∞
∞
, Á ÚÁÔÅÍ ÐÒÉÍÅÎÉÍ ×ÔÏÒÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ É
×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÐÅÒ×ÙÍ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÍ ÐÒÅÄÅÌÏÍ:
lim
x→0
ln y(x) = lim
x→0
(−sin x ln x) = −lim
x→0
ln x
1
sin x
=
h
∞
∞
i
=
= − lim
x→0
1
x
−
cos x
sin
2
x
= lim
x→0
sin
2
x
x cos x
=
0
0
= lim
x→0
1
cos x
·
sin x
x
· sin x
=
= lim
x→0
1
cos x
· lim
x→0
sin x
x
· lim
x→0
sin x = 1 ·1 ·0 = 0.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
lim
x→0
y(x) = lim
x→0
e
ln y(x)
= e
lim
x→0
ln y(x)
= e
0
= 1.
éÔÁË, lim
x→0
1
x
sin x
= 1.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
îÁÊÔÉ ÐÒÅÄÅÌ:
591. lim
x→0
sin 7x
sin 3x
;
592. lim
x→π
sin 7x
tg 5x
;
593. lim
x→0
3x−sin 3x
x
3
;
594. lim
x→0
tg x−sin x
x−sin x
;
595. lim
x→
π
4
tg x−1
sin 4x
;
596. lim
x→0
tg x−1+cos 3x
e
x
−e
−x
;
597. lim
x→0
e
x
−e
−x
−2x
sin x−x
;
598. lim
x→0
x−arctg x
x
3
;
599. lim
x→
π
6
1−2 sin x
cos 3x
;
600. lim
x→1
x
3
−3x+2
x
3
−x
2
−x+1
;
§12. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ. ðÒÁ×ÉÌÁ ìÏÐÉÔÁÌÑ                                   99

                                                                               1 sin x
  òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ ∞0. ðÏÌÏÖÉÍ y(x) =
                                                                                 
                                                                               x         É
ÐÒÏÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÕÅÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á:
                           sin x
                           1                 1
             ln y(x) = ln          = sin x ln = − sin x ln x.
                           x                 x
ôÁË ËÁË x → 0, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 0 · ∞. ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ Å¾
                             ∞
Ë ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ ∞      , Á ÚÁÔÅÍ ÐÒÉÍÅÎÉÍ ×ÔÏÒÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ É
×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÐÅÒ×ÙÍ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÍ ÐÒÅÄÅÌÏÍ:
                                             ln x h ∞ i
  lim ln y(x) = lim(− sin x ln x) = − lim 1 =               =
  x→0           x→0                     x→0
                                             sin x
                                                       ∞
                   1               2                                        
                   x           sin   x      0               1     sin x
       = − lim cos      = lim          =         = lim          ·       · sin x =
            x→0 − 2 x     x→0 x cos x       0       x→0 cos x       x
                  sin x
                                           1          sin x
                                  = lim         · lim       · lim sin x = 1 · 1 · 0 = 0.
                                     x→0 cos x x→0 x          x→0
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
                                                     lim ln y(x)
                          lim y(x) = lim eln y(x) = ex→0           = e0 = 1.
                          x→0         x→0
               1 sin x
                 
éÔÁË, lim      x          = 1.
       x→0


úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

îÁÊÔÉ ÐÒÅÄÅÌ:
           sin 7x
  591. lim sin 3x ;
          x→0
               sin 7x
   592. lim             ;
          x→π tg 5x
   593.   lim 3x−sin x3
                          3x
                             ;
          x→0
   594.   lim tgx−sin
                   x−sin x
                          x ;
          x→0
   595.   limπ tgsinx−1
                     4x ;
          x→  4

   596. lim tg x−1+cos
                ex −e−x
                        3x
                           ;
          x→0
                  x
                −e−x −2x
   597. lim e   sin x−x ;
          x→0
   598.   lim x−arctg
                  x 3
                        x
                          ;
          x→0
   599.   limπ 1−2
                cos
                    sin x
                     3x ;
          x→  6
                      3
   600. lim x3x−x−3x+2
                  2 −x+1 ;
          x→1

Страницы