Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

12 çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ
ðÒÉÍÅÎÑÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ x = 3 sin t, −3 6 x 6 3, −
π
2
6 t 6
π
2
, t = arcsin
x
3
,
dx = d(3 sin t) = 3 cos t dt, ÐÏÌÕÞÉÍ
Z
p
9 − 9 sin
2
t 3 cos t dt =
Z
√
9 cos
2
t 3 cos t dt = 9
Z
cos
2
t dt =
= 9
Z
1 + cos 2t
2
dt =
9
2
Z
dt +
Z
cos 2t dt
=
9
2
t +
9
4
sin 2t + C =
=
9
2
arcsin
x
3
+
9
4
sin
2 arcsin
x
3
+ C.
ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÏÔÄÅÌØÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ sin
2
arcsin
x
3

, ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ
ÆÏÒÍÕÌÏÊ:
sin 2t = 2 sin t cos t = 2 sin t ·
p
1 − sin
2
t, −
π
2
6 t 6
π
2
,
ÐÏÜÔÏÍÕ
sin
2 arcsin
x
3
= 2 sin
arcsin
x
3
·
r
1 − sin
2
arcsin
x
3
=
= 2 ·
x
3
·
r
1 −
x
2
9
=
2
9
x ·
p
9 − x
2
.
ïÔÓÀÄÁ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ:
Z
p
9 − x
2
dx =
9
2
arcsin
x
3
+
1
2
x ·
p
9 − x
2
+ C.
1.3. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ
ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ u(x), v(x) ÉÍÅÀÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ u
0
(x), v
0
(x)
ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ (a, b), ÔÏÇÄÁ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:
Z
u(x)v
0
(x) dx = u(x)v(x) −
Z
v(x)u
0
(x) dx (1)
ÉÌÉ
Z
u dv = uv −
Z
v du.
îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÍÅÔÏÄÁ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ
ÐÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÞÁÓÔÉÞÎÏÍÕ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÀ, ÔÁË ËÁË É ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ
(1) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. ïÄÎÁËÏ ÐÒÉ ÐÒÁ×ÉÌØÎÏÍ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÉ ÍÅÔÏÄÁ ÉÎÔÅ-
ÇÒÁÌ ÉÚ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ (1) ÂÕÄÅÔ ÔÁÂÌÉÞÎÙÍ ÉÌÉ ÌÅÇËÏ Ó×ÏÄÑÝÉÍÓÑ Ë ÔÁ-
ÂÌÉÞÎÏÍÕ. ðÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÍÅÔÏÄ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ
ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ ÍÏÖÅÔ ÐÒÉÍÅÎÑÔØÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ. ðÒÁ×ÉÌÏ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ
12          çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

ðÒÉÍÅÎÑÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ x = 3 sin t, −3 6 x 6 3, − π2 6 t 6 π2 , t = arcsin x3 ,
dx = d(3 sin t) = 3 cos t dt, ÐÏÌÕÞÉÍ
  Z p                            Z √                         Z
       9 − 9 sin2 t 3 cos t dt =     9 cos2 t 3 cos t dt = 9 cos2 t dt =
                                 Z                      
            1 + cos 2t         9                             9      9
         Z                                  Z
     =9                  dt =        dt + cos 2t dt = t + sin 2t + C =
                  2            2                             2      4
                                              9          x 9              x
                                            = arcsin + sin 2 arcsin           + C.
                                              2          3 4               3
ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÏÔÄÅÌØÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ sin 2 arcsin x3 , ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ
                                                          
ÆÏÒÍÕÌÏÊ:
                                             p                 π        π
           sin 2t = 2 sin t cos t = 2 sin t · 1 − sin2 t, − 6 t 6 ,
                                                                2       2
ÐÏÜÔÏÍÕ
                                          r
               x                 x               2
                                                              x
  sin 2 arcsin      = 2 sin arcsin       · 1 − sin arcsin           =
                3                   3                          3
                                                           r
                                                       x         x2   2   p
                                                =2· · 1−             = x · 9 − x2 .
                                                       3          9   9
ïÔÓÀÄÁ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ:
                                   9          x 1
                Z p                                      p
                       9 − x dx = arcsin + x · 9 − x2 + C.
                             2
                                   2          3 2

1.3. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ

   ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ u(x), v(x) ÉÍÅÀÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ u 0 (x), v 0 (x)
ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ (a, b), ÔÏÇÄÁ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:
               Z                            Z
                   u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − v(x)u0(x) dx
                         0
                                                                       (1)
ÉÌÉ                          Z                 Z
                                 u dv = uv −       v du.
   îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÍÅÔÏÄÁ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ
ÐÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÞÁÓÔÉÞÎÏÍÕ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÀ, ÔÁË ËÁË É ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ
(1) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. ïÄÎÁËÏ ÐÒÉ ÐÒÁ×ÉÌØÎÏÍ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÉ ÍÅÔÏÄÁ ÉÎÔÅ-
ÇÒÁÌ ÉÚ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ (1) ÂÕÄÅÔ ÔÁÂÌÉÞÎÙÍ ÉÌÉ ÌÅÇËÏ Ó×ÏÄÑÝÉÍÓÑ Ë ÔÁ-
ÂÌÉÞÎÏÍÕ. ðÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÍÅÔÏÄ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ
ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ ÍÏÖÅÔ ÐÒÉÍÅÎÑÔØÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ. ðÒÁ×ÉÌÏ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ

Страницы