Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 13
ÞÁÓÔÑÍ ÉÍÅÅÔ ÂÏÌÅÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÕÀ ÏÂÌÁÓÔØ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ, ÞÅÍ ÚÁÍÅÎÁ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÏÊ. îÏ ÅÓÔØ ÃÅÌÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ×, ÎÁÐÒÉÍÅÒ:
Z
x
k
ln
m
x dx,
Z
x
k
sin ax dx,
Z
x
k
cos ax dx,
Z
x
k
e
ax
dx,
Z
x
k
arcsin ax dx,
Z
x
k
arccos ax dx,
Z
x
k
arctg ax dx
É ÄÒÕÇÉÅ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÉÍÅÎÎÏ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ ÞÁ-
ÓÔÑÍ.
I. ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÊ ×ÉÄÁ P
m
(x) sin ax, P
m
(x) cos ax, P
m
(x)e
ax
,
ÇÄÅ P
m
(x) ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m, × ËÁÞÅÓÔ×Å ÆÕÎËÃÉÉ u(x) ÉÚ
ÆÏÒÍÕÌÙ (1) ÂÅÒÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ P
m
(x), Á × ËÁÞÅÓÔ×Å v
0
(x) ÄÒÕÇÏÊ ÓÏÍÎÏÖÉ-
ÔÅÌØ.
ðÒÉÍÅÒ 15.
R
x · sin 3x dx. ðÕÓÔØ u(x) = x, v
0
(x) = sin 3x, ÔÏÇÄÁ
dv = sin 3x dx =
sin 3x
3
d3x = −
1
3
d cos 3x.
Z
x · sin 3x dx = −
1
3
Z
x d cos 3x = −
1
3
x · cos 3x −
Z
cos 3x dx
=
= −
1
3
x cos 3x +
1
3
Z
cos 3x dx = −
1
3
x cos 3x +
1
9
Z
cos 3x d3x =
= −
1
3
x cos 3x +
1
9
sin 3x + C.
ðÒÉÍÅÒ 16.
R
xe
−4x
dx. ðÕÓÔØ u(x) = x, v
0
(x) = e
−4x
, ÔÏÇÄÁ
v
0
(x) dx = dv(x) = e
−4x
dx = −
e
−4x
4
d(−4x) = −
1
4
de
−4x
.
Z
xe
−4x
dx = −
1
4
Z
x de
−4x
= −
1
4
x · e
−4x
−
Z
e
−4x
dx
=
= −
1
4
xe
−4x
+
1
4
Z
e
−4x
dx = −
1
4
xe
−4x
−
1
16
Z
e
−4x
d(−4x) =
= −
1
4
xe
−4x
−
1
16
e
−4x
+ C.
ëÁË ÂÙÌÏ ÓËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ, ÐÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÆÏÒÍÕÌÁ ÉÎÔÅÇÒÉ-
ÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ ÍÏÖÅÔ ÐÒÉÍÅÎÑÔØÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ.
§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .                                            13

ÞÁÓÔÑÍ ÉÍÅÅÔ ÂÏÌÅÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÕÀ ÏÂÌÁÓÔØ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ, ÞÅÍ ÚÁÍÅÎÁ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÏÊ. îÏ ÅÓÔØ ÃÅÌÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ×, ÎÁÐÒÉÍÅÒ:
       Z                     Z                 Z                 Z
            k   m                k                 k
           x ln x dx,      x sin ax dx,     x cos ax dx,      xk eax dx,
           Z                  Z                    Z
               k                   k
             x arcsin ax dx,      x arccos ax dx,     xk arctg ax dx

É ÄÒÕÇÉÅ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÉÍÅÎÎÏ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ ÞÁ-
ÓÔÑÍ.
   I. ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÊ ×ÉÄÁ Pm (x) sin ax, Pm (x) cos ax, Pm (x)eax,
ÇÄÅ Pm (x) ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m, × ËÁÞÅÓÔ×Å ÆÕÎËÃÉÉ u(x) ÉÚ
ÆÏÒÍÕÌÙ (1) ÂÅÒÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Pm (x), Á × ËÁÞÅÓÔ×Å v 0 (x) ÄÒÕÇÏÊ ÓÏÍÎÏÖÉ-
ÔÅÌØ.
   ðÒÉÍÅÒ 15. x · sin 3x dx. ðÕÓÔØ u(x) = x, v 0 (x) = sin 3x, ÔÏÇÄÁ
                 R


                    sin 3x          1
 dv = sin 3x dx =          d3x = − d cos 3x.
                       3            3                                    
                          1                  1
    Z                       Z                                 Z
       x · sin 3x dx = −      x d cos 3x = −     x · cos 3x − cos 3x dx =
                          3                  3
             1            1                 1             1
                            Z                               Z
       = − x cos 3x +         cos 3x dx = − x cos 3x +         cos 3x d3x =
             3            3                 3             9
                                                       1            1
                                                  = − x cos 3x + sin 3x + C.
                                                       3            9

  ðÒÉÍÅÒ 16.            xe−4x dx. ðÕÓÔØ u(x) = x, v 0 (x) = e−4x , ÔÏÇÄÁ
                    R


  0                       −4x   e−4x              1
 v (x) dx = dv(x) = e dx = −          d(−4x) = − de−4x .
                                  4              4                
                        1                 1
         Z                Z                              Z
              −4x                 −4x             −4x        −4x
            xe dx = −        x de     =−      x·e     − e dx =
                        4                 4
             1 −4x 1                    1 −4x      1
                        Z                             Z
                            −4x
         = − xe     +      e dx = − xe         −          e−4x d(−4x) =
             4        4                 4         16
                                                        1          1 −4x
                                                  = − xe−4x −        e   + C.
                                                        4         16

  ëÁË ÂÙÌÏ ÓËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ, ÐÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÆÏÒÍÕÌÁ ÉÎÔÅÇÒÉ-
ÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ ÍÏÖÅÔ ÐÒÉÍÅÎÑÔØÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ.

Страницы