Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 15
ðÒÉÍÅÒ 19.
R
x arctg 2x dx. ðÕÓÔØ u(x) = arctg 2x, v
0
(x) = x, ÔÏÇÄÁ
Z
x arctg 2x dx =
1
2
Z
arctg 2x dx
2
=
1
2
x
2
· arctg 2x−
−
Z
x
2
d arctg 2x
=
1
2
x
2
arctg 2x −
Z
2x
2
1 + (2x)
2
dx
=
=
1
2
x
2
arctg 2x −
1
2
Z
4x
2
+ 1
4x
2
+ 1
dx +
1
2
Z
1
4x
2
+ 1
dx
=
=
x
2
arctg 2x
2
−
1
4
x +
1
8
Z
d2x
(2x)
2
+ 1
=
x
2
arctg 2x
2
−
1
4
x+
+
1
8
arctg 2x + C.
III. ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÊ e
ax
sin bx, e
ax
cos bx,
√
ax
2
+ b ÉÎÔÅÇÒÉ-
ÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ Ä×Á ÒÁÚÁ. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ
Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ.
ðÒÉÍÅÒ 20.
Z
e
x
cos x dx =
Z
cos x de
x
= e
x
cos x −
Z
e
x
d cos x =
= e
x
cos x +
Z
e
x
sin x dx = e
x
cos x +
Z
sin x de
x
=
= e
x
cos x + e
x
sin x −
Z
e
x
d sin x = e
x
cos x + e
x
sin x −
Z
e
x
cos x dx.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ I =
R
e
x
cos x dx. ðÅÒÅÐÉÛÅÍ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × ×ÉÄÅ:
I = e
x
cos x + e
x
sin x − I,
ÒÅÛÁÑ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
2I = e
x
cos x + e
x
sin x,
I =
1
2
(e
x
cos x + e
x
sin x),
ÏÔÓÀÄÁ ÉÍÅÅÍ:
Z
e
x
cos x dx =
e
x
2
(cos x + sin x) + C.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÊ ×ÉÄÁ e
ax
sin bx, e
ax
cos bx ÉÎ-
ÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ Ä×Á ÒÁÚÁ, ÐÒÉÞÅÍ × ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ×
ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ u(x) ÂÅÒÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÔÉÐÁ: ÐÏËÁÚÁ-
ÔÅÌØÎÁÑ ÉÌÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ.
§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .                                               15

   ðÒÉÍÅÒ 19. x arctg 2x dx. ðÕÓÔØ u(x) = arctg 2x, v 0 (x) = x, ÔÏÇÄÁ
                    R

                                              
                        1                   1 2
  Z                       Z
                                        2
     x arctg 2x dx =        arctg 2x dx =       x · arctg 2x−
                        2                   2
                                                             2x2
                                                                     
                                    1
              Z                                        Z
                   2                      2
           − x d arctg 2x =              x arctg 2x −                dx =
                                    2                     1 + (2x)2
                                   1 4x2 + 1
                                                                      
               1                                      1       1
                                    Z                   Z
                      2
            =        x arctg 2x −                dx +               dx =
               2                   2 4x2 + 1          2 4x2 + 1
               x2 arctg 2x 1        1       d2x        x2 arctg 2x 1
                                       Z
            =               − x+                     =             − x+
                     2        4     8 (2x)2 + 1             2         4
                                                                    1
                                                                 + arctg 2x + C.
                                                                    8
                                                                 √
   III. ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÊ eax sin bx, eax cos bx, ax2 + b ÉÎÔÅÇÒÉ-
ÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ Ä×Á ÒÁÚÁ. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ
Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ.
   ðÒÉÍÅÒ 20.
  Z                  Z                         Z
     ex cos x dx = cos x dex = ex cos x − ex d cos x =
                              Z                          Z
                = e cos x + e sin x dx = e cos x + sin x dex =
                    x             x             x

                                 Z                                    Z
        = e cos x + e sin x − e d sin x = e cos x + e sin x − ex cos x dx.
            x           x            x            x         x


                             ex cos x dx. ðÅÒÅÐÉÛÅÍ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × ×ÉÄÅ:
                         R
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ I =
                              I = ex cos x + ex sin x − I,
ÒÅÛÁÑ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                               2I = ex cos x + ex sin x,
                                  1
                              I = (ex cos x + ex sin x),
                                  2
ÏÔÓÀÄÁ ÉÍÅÅÍ:
                                ex
                     Z
                         ex cos x dx =
                                   (cos x + sin x) + C.
                                 2
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÊ ×ÉÄÁ eax sin bx, eax cos bx ÉÎ-
ÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ Ä×Á ÒÁÚÁ, ÐÒÉÞÅÍ × ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ×
ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ u(x) ÂÅÒÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÔÉÐÁ: ÐÏËÁÚÁ-
ÔÅÌØÎÁÑ ÉÌÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ.

Страницы