Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

16 çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ
ðÒÉÍÅÒ 21.
Z
p
7 − x
2
dx = x ·
p
7 − x
2
−
1
2
Z
x ·
(−2x)
√
7 − x
2
dx = x ·
p
7 − x
2
+
+
Z
x
2
√
7 − x
2
dx = x
p
7 − x
2
−
Z
7 − x
2
√
7 − x
2
dx +
Z
7
√
7 − x
2
dx =
= x ·
p
7 − x
2
−
Z
p
7 − x
2
dx + 7 arcsin
x
√
7
.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ I =
R
√
7 − x
2
dx. ðÅÒÅÐÉÛÅÍ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × ×ÉÄÅ:
I = x
p
7 − x
2
+ 7 arcsin
x
√
7
− I ÉÌÉ 2I = x
p
7 − x
2
+ 7 arcsin
x
√
7
,
I =
1
2
x
p
7 − x
2
+ 7 arcsin
x
√
7
, ÏÔÓÀÄÁ ÉÍÅÅÍ:
Z
p
7 − x
2
dx =
1
2
x
p
7 − x
2
+
7
2
arcsin
x
√
7
+ C.
1.4. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ
óÎÁÞÁÌÁ ÏÓÔÁÎÏ×ÉÍÓÑ ÎÁ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏ-
ÂÅÊ. üÔÏ ÄÒÏÂÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÞÅÔÙÒÅÈ ÔÉÐÏ×:
I.
A
x − a
, II.
A
(x − a)
m
,
III.
Ax + B
x
2
+ px + q
, IV.
Ax + B
(x
2
+ px + q)
m
, (m = 2, 3, . . .).
éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÄÒÏÂÅÊ ×ÉÄÁ I É II ÉÚ×ÅÓÔÎÏ:
I.
Z
A
x − a
dx = A ln |x − a| + C,
II.
Z
A
(x − a)
m
dx = −
A
m − 1
1
(x − a)
m−1
+ C.
ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÄÒÏÂÅÊ III É IV × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ, ÓÔÏÑÝÅÍ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ,
×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ
x
2
+ px + q =
x +
p
2
2
−
p
2
2
+ q =
x +
p
2
2
+
q −
p
2
2
=
x +
p
2
2
+ k.
16          çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

     ðÒÉÍÅÒ 21.

                                  1        (−2x)
  Z p                p              Z                         p
      7 − x2 dx = x · 7 − x2 −         x· √          dx = x · 7 − x2+
                                  2         7 − x2
              x2                            7 −  x 2
                                                                  7
        Z                  p           Z                  Z
     + √            dx = x 7 − x2 − √                dx + √            dx =
             7 − x2                          7 − xZ2            7 − x2
                                      p
                                              2
                                                      p                       x
                               =x· 7−x −                7 − x2 dx + 7 arcsin √ .
                                                                               7
                      R√
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ I =       7 − x2 dx. ðÅÒÅÐÉÛÅÍ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × ×ÉÄÅ:
         p                   x                        p                    x
   I = x 7 − x2 + 7 arcsin √ − I ÉÌÉ 2I = x 7 − x2 + 7 arcsin √ ,
                              7                                             7
                     p                         
                 1                           x
             I=      x 7 − x2 + 7 arcsin √ , ÏÔÓÀÄÁ ÉÍÅÅÍ:
                 2                            7
                                1                7         x
              Z p                   p
                   7 − x2 dx = x 7 − x2 + arcsin √ + C.
                                2                2          7

1.4. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ

   óÎÁÞÁÌÁ ÏÓÔÁÎÏ×ÉÍÓÑ ÎÁ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏ-
ÂÅÊ. üÔÏ ÄÒÏÂÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÞÅÔÙÒÅÈ ÔÉÐÏ×:
                A            A
            I.     , II.           ,
               x−a        (x − a)m
                 Ax + B              Ax + B
           III. 2         , IV. 2              ,     (m = 2, 3, . . .).
               x + px + q        (x + px + q)m
éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÄÒÏÂÅÊ ×ÉÄÁ I É II ÉÚ×ÅÓÔÎÏ:
                     A
                 Z
              I.         dx = A ln |x − a| + C,
                   x−a
                       A              A         1
                 Z
             II.           m
                             dx = −                  + C.
                   (x − a)          m − 1 (x − a)m−1
ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÄÒÏÂÅÊ III É IV × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ, ÓÔÏÑÝÅÍ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ,
×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ
                                                 p 2 
 2
                p 2  p 2          p 2                   p 2
x + px + q = x +     −       +q = x+        + q−        = x+       + k.
                 2      2              2           2          2

Страницы