Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18 çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ
ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ:
Z
t
d(t
2
+ k)
(t
2
+ k)
m
= −
1
m − 1
Z
t d(t
2
+ k)
1−m
=
= −
1
m − 1
t
(t
2
+ k)
m−1
−
Z
dt
(t
2
+ k)
m−1
=
1
m − 1
t
(t
2
+ k)
m−1
− I
m−1
.
ïÔÓÀÄÁ ÉÍÅÅÍ, ÞÔÏ
I
m
=
1
k
I
m−1
+
1
2(m −1)
·
t
(t
2
+ k)
m−1
−
I
m−1
2(m −1)
.
ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÆÏÒÍÕÌÁ Ó×ÏÄÉÔ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ I
m
Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ I
m−1
. úÎÁÑ ÉÎÔÅ-
ÇÒÁÌ (ÓÍ. ÔÁÂÌÉÃÕ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ×) I
1
=
R
dt
t
2
+k
, ÎÁÊÄÅÍ I
2
=
R
dt
(t
2
+k)
2
É ÔÁË ÄÁÌÅÅ
ÄÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ I
m
.
ðÒÉÍÅÒ 22.
Z
2x + 5
x
2
+ 4x −3
dx =
Z
2x + 5
(x + 2)
2
− 7
dx =
Z
2(x + 2 − 2) + 5
(x + 2)
2
− 7
dx =
=
Z
2 · (x + 2)
(x + 2)
2
− 7
d(x + 2) +
Z
d(x + 2)
(x + 2)
2
− 7
=
= 2
Z
t dt
t
2
− 7
+
Z
dt
t
2
− 7
=
Z
d(t
2
− 7)
t
2
− 7
+
Z
dt
t
2
− 7
=
= ln |t
2
−7|+
1
2
√
7
ln
√
7 − t
√
7 + t
+C = ln |x
2
+4x−3|+
1
2
√
7
ln
√
7 − 2 − x
√
7 + 2 + x
+C.
ðÒÉÍÅÒ 23.
Z
2x + 5
(x
2
+ 4x − 3)
2
dx =
Z
2x + 5
((x + 2)
2
− 7)
2
dx = 2
Z
x + 2
((x + 2)
2
− 7)
2
d(x + 2)+
+
Z
d(x + 2)
((x + 2)
2
− 7)
2
= 2
Z
t dt
(t
2
− 7)
2
+
Z
dt
(t
2
− 7)
2
=
=
Z
d(t
2
− 7)
(t
2
− 7)
2
+
Z
dt
(t
2
− 7)
2
= −
1
t
2
− 7
+
Z
dt
(t
2
− 7)
2
,
18           çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ:

   d(t2 + k)      1
 Z                   Z
  t 2      m
             =−         t d(t2 + k)1−m =
   (t + k)       m−1
                                                               
     1         t               dt           1         t
                       Z
=−                   −                  =                   − Im−1 .
   m − 1 (t2 + k)m−1      (t2 + k)m−1     m − 1 (t2 + k)m−1

ïÔÓÀÄÁ ÉÍÅÅÍ, ÞÔÏ
                                                              
                  1                 1           t       Im−1
             Im =         Im−1 +         ·           −           .
                  k              2(m − 1) (t2 + k)m−1 2(m − 1)

ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÆÏÒÍÕÌÁ Ó×ÏÄÉÔ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ
                                  R dtIm Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ R Idtm−1 . úÎÁÑ ÉÎÔÅ-
ÇÒÁÌ (ÓÍ. ÔÁÂÌÉÃÕ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ×) I1 = t2 +k , ÎÁÊÄÅÍ I2 = (t2 +k)2 É ÔÁË ÄÁÌÅÅ
ÄÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ Im.
   ðÒÉÍÅÒ 22.

        2x + 5                 2x + 5                2(x + 2 − 2) + 5
 Z                      Z                        Z
                 dx =                      dx =                        dx =
    x2 + 4x − 3             (x + 2)2 − 7               (x + 2)2 − 7
                        2 · (x + 2)                      d(x + 2)
                   Z                                Z
                 =               2
                                        d(x + 2) +                   =
                       (x + 2) − 7                     (x + 2)2 − 7
                      t dt             dt        d(t2 − 7)          dt
                 Z              Z             Z               Z
             =2      2
                             +       2
                                            =       2
                                                           +      2
                                                                        =
                    t −7            t −7           t −7          t −7
                       √                                             √
               1          7 −  t                            1          7−2−x
= ln |t2 −7|+ √ ln √               +C = ln |x2 +4x−3|+ √ ln √                +C.
              2 7         7+t                              2 7         7+2+x


     ðÒÉÍÅÒ 23.

          2x + 5                  2x + 5                         x+2
 Z                        Z                             Z
                     dx =                     dx  =   2                     d(x + 2)+
      (x2 + 4x − 3)2         ((x + 2)2 − 7)2               ((x + 2)2 − 7)2
                       d(x + 2)               t dt               dt
                 Z                     Z                  Z
              +            2      2
                                    =2      2        2
                                                       +              =
                   ((x + 2) − 7)          (t − 7)            (t − 7)2
                                                               2

                             d(t2 − 7)            dt             1             dt
                          Z              Z                             Z
                        =       2    2
                                       +        2       2
                                                          =− 2       +              ,
                             (t − 7)         (t − 7)          t −7         (t − 7)2
                                                                             2

Страницы