Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 19
×ÙÞÉÓÌÉÍ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÐÏÓÌÅÄÎÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ:
Z
dt
(t
2
− 7)
2
= −
1
7
Z
(−7) dt
(t
2
− 7)
2
= −
1
7
Z
t
2
− 7 −t
2
(t
2
− 7)
2
dt =
= −
1
7
Z
t
2
− 7
(t
2
− 7)
2
dt +
1
7
Z
t
2
(t
2
− 7)
2
dt = −
1
7
Z
dt
(t
2
− 7)
+
+
1
14
Z
t
d(t
2
− 7)
(t
2
− 7)
2
= −
1
7
Z
dt
t
2
− 7
−
1
14
Z
t d
1
t
2
− 7
=
= −
1
7
Z
dt
t
2
− 7
−
1
14
t ·
1
t
2
− 7
−
Z
dt
t
2
− 7
=
= −
1
14
Z
dt
t
2
− 7
−
1
14
t
t
2
− 7
=
1
14
·
1
2
√
7
ln
√
7 + t
√
7 − t
−
1
14
t
t
2
− 7
+ C.
ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ:
Z
2x + 5
(x
2
+ 4x −3)
2
dx = −
1
t
2
− 7
+
1
28
√
7
ln
√
7 + t
√
7 − t
−
1
14
t
t
2
− 7
+ C =
= −
1
x
2
+ 4x − 3
+
1
28
√
7
ln
√
7 + 2 + x
√
7 − 2 − x
−
1
14
x + 2
x
2
+ 4x − 3
+ C.
ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÐÅÒÅÊÔÉ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÓÌÕÞÁÀ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÄÒÏ-
ÂÅÊ, ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÏÄÎÕ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÉÍÅÀÝÕÀ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÅ
ÚÎÁÞÅÎÉÅ × ÔÅÏÒÉÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ: ËÁÖÄÁÑ ÐÒÁ×ÉÌØ-
ÎÁÑ ÄÒÏÂØ
P (x)
Q(x)
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ.
òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÐÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÄÒÏÂÉ ÎÁ ÐÒÏÓÔÙÅ ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Q(x) ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ËÁÖÄÙÊ ÃÅÌÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Ó
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ
ÔÉÐÁ (x − a) É (x
2
+ px + q). ÷ ÓÈÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ×ÉÄÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
Q(x) ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ: Q(x) = (x−a)
k
·. . .·(x
2
+px+q)
m
. ðÏËÁÖÅÍ, ËÁË,
Ó ÕÞÅÔÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Q(x), ÐÒÁ×ÉÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÐÒÏÓÔÙÅ:
1. åÓÌÉ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ (x − a) ×ÈÏÄÉÔ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ Q(x) ÔÏÌØËÏ × ÐÅÒ×ÏÊ
ÓÔÅÐÅÎÉ, ÍÙ ÐÏÓÔÁ×ÉÍ ÅÍÕ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÐÒÏÓÔÕÀ ÄÒÏÂØ:
(x − a) →
A
x − a
.
2. åÓÌÉ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ Q(x) ×ÈÏÄÉÔ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ (x−a)
k
, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØ
§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .                                                        19

×ÙÞÉÓÌÉÍ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÐÏÓÌÅÄÎÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ:

         dt         1       (−7) dt         1 t2 − 7 − t 2
 Z                     Z                      Z
               =−                     =−                      dt =
     (t2 − 7)2      7 (t2 − 7)2             7      (t2 − 7)2
                1       t2 − 7          1         t2             1         dt
                  Z                       Z                         Z
            =−                   dt +                    dt = −                 +
                7 (t2 − 7)2             7 (t2 − 7)2              7 (t2 − 7)
                 1        d(t2 − 7)        1       dt       1            1
                    Z                        Z                Z
              +         t 2          =  −                −        t d         =
                14        (t − 7)2         7 t2 − 7 14                t2 − 7
                                                                      
                       1       dt        1           1           dt
                          Z                                 Z
                 =−                  −        t· 2       −                 =
                       7 t2 − 7 14                t −7         t2 − 7
                                                              √
              1        dt       1     t         1      1        7+t          1    t
                Z
         =−          2
                             −      2
                                            =      · √ ln √              −      2
                                                                                     + C.
             14 t − 7 14 t − 7 14 2 7                           7−t         14 t − 7

ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ:
                                          √
         2x + 5               1     1       7+t   1     t
 Z
                    dx = −       +  √  ln √     −           +C =
     (x2 + 4x − 3)2        t2 − 7 28 7     7−t    14 t2 − 7
                                       √
                       1          1     7+2+x      1      x+2
             =− 2             + √ ln √          −                + C.
                  x + 4x − 3 28 7       7−2−x     14 x2 + 4x − 3

   ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÐÅÒÅÊÔÉ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÓÌÕÞÁÀ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÄÒÏ-
ÂÅÊ, ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÏÄÎÕ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÉÍÅÀÝÕÀ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÅ
ÚÎÁÞÅÎÉÅ × ÔÅÏÒÉÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ: ËÁÖÄÁÑ ÐÒÁ×ÉÌØ-
           P (x)
ÎÁÑ ÄÒÏÂØ Q(x)   ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ.
   òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÐÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÄÒÏÂÉ ÎÁ ÐÒÏÓÔÙÅ ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Q(x) ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ËÁÖÄÙÊ ÃÅÌÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Ó
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ
ÔÉÐÁ (x − a) É (x2 + px + q). ÷ ÓÈÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ×ÉÄÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
Q(x) ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ: Q(x) = (x−a)k ·. . .·(x2 +px+q)m. ðÏËÁÖÅÍ, ËÁË,
Ó ÕÞÅÔÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Q(x), ÐÒÁ×ÉÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÐÒÏÓÔÙÅ:
   1. åÓÌÉ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ (x − a) ×ÈÏÄÉÔ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ Q(x) ÔÏÌØËÏ × ÐÅÒ×ÏÊ
ÓÔÅÐÅÎÉ, ÍÙ ÐÏÓÔÁ×ÉÍ ÅÍÕ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÐÒÏÓÔÕÀ ÄÒÏÂØ:
                                                A
                                   (x − a) →       .
                                               x−a
  2. åÓÌÉ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ Q(x) ×ÈÏÄÉÔ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ (x−a)k , ÔÏ ÅÓÔØ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØ

Страницы