Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 31
3. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ
R
sin
m
x
cos
n
x
dx É
R
cos
m
x
sin
n
x
dx.
Ú) m = n, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ tg
2
x =
1
cos
2
x
− 1.
Z
sin
m
x
cos
m
x
dx =
Z
tg
m−2
1
cos
2
x
− 1
dx =
=
Z
tg
m−2
d tg x −
Z
tg
m−2
x dx =
tg
m−1
x
m − 1
−
Z
tg
m−2
x dx,
ÐÏÌÕÞÉÍ ÆÏÒÍÕÌÕ ÐÏÎÉÖÅÎÉÑ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ
Z
cos
m
x
sin
m
x
dx =
Z
ctg
m
x dx = −
1
m − 1
ctg
m−1
x −
Z
ctg
m−2
x dx.
ðÒÉÍÅÒ 41.
Z
sin
3
x
cos
3
x
dx =
Z
tg
3
x dx =
Z
tg x
1
cos
2
x
− 1
dx =
=
Z
tg x d tg x −
Z
tg x dx =
tg
2
x
2
−
Z
sin x
cos x
dx =
=
tg
2
x
x
+
Z
d cos x
cos x
=
tg
2
x
2
+ ln |cos x| + C.
É) ÐÏËÁÚÁÔÅÌØ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ m ¡ ÞÅÔÎÙÊ, m = 2k.
Z
cos
m
x
sin
n
x
dx =
Z
cos
2k
x
sin
n
x
dx =
Z
(1 −sin
2
x)
k
sin
n
x
dx.
éÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÐÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÕÍÍÕ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ×ÉÄÁ (1).
ðÒÉÍÅÒ 42.
Z
cos
4
x
sin
3
x
dx =
Z
(1 −sin
2
x)
2
sin
3
x
dx =
=
Z
1 − 2 sin
2
x + sin
4
x
sin
3
x
dx =
Z
dx
sin
3
x
− 2
Z
dx
sin x
+
Z
sin x dx.
Ë) ÐÏËÁÚÁÔÅÌØ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ m ÎÅÞÅÔÎÙÊ, m = 2k + 1.
Z
cos
m
x
sin
n
x
dx =
Z
cos
2k+1
x
sin
n
x
dx =
Z
(1 −sin
2
x)
k
sin
n
x
d sin x.
éÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÐÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ×ÉÄÁ
R
t
m
dt.
§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .                                                31
                      R mx         R cosm x
   3. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ sin   n
                        cos x
                              dx É   sinn x
                                            dx.
   Ú) m = n, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ tg2 x = cos12 x − 1.

      sinm x
                                    
                              1
  Z                 Z
             dx =    tgm−2        − 1 dx =
      cosm x               cos2 x
                                                     m−1
                                                  tg     x
                     Z              Z                       Z
                    = tgm−2 d tg x − tgm−2 x dx =          − tgm−2 x dx,
                                                   m−1
ÐÏÌÕÞÉÍ ÆÏÒÍÕÌÕ ÐÏÎÉÖÅÎÉÑ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ
        cosm x                    1
      Z            Z                             Z
                       m                  m−1
           m   dx = ctg x dx = −      ctg     x − ctgm−2 x dx.
        sin x                    m−1
  ðÒÉÍÅÒ 41.

      sin3 x
                                                
                                       1
  Z                 Z           Z
                        3
             dx = tg x dx = tg x             − 1 dx =
      cos3 x                         cos2 x
                                            tg2 x       sin x
                Z             Z                      Z
               = tg x d tg x − tg x dx =          −           dx =
                                              2         cos x
                                 tg2 x        d cos x tg2 x
                                          Z
                               =       +              =        + ln | cos x| + C.
                                   x           cos x       2
  É) ÐÏËÁÚÁÔÅÌØ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ m ¡ ÞÅÔÎÙÊ, m = 2k.

               cosm x         cos2k x        (1 − sin2 x)k
             Z              Z              Z
                       dx =           dx =                 dx.
                sinn x        sinn x            sinn x
éÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÐÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÕÍÍÕ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ×ÉÄÁ (1).
  ðÒÉÍÅÒ 42.

      cos4 x         (1 − sin2 x)2
  Z               Z
             dx =                  dx =
      sin3 x            sin3 x
                   1 − 2 sin2 x + sin4 x          dx         dx
                Z                             Z           Z        Z
              =                          dx =          −2         + sin x dx.
                           sin3 x               sin3 x      sin x
  Ë) ÐÏËÁÚÁÔÅÌØ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ m ÎÅÞÅÔÎÙÊ, m = 2k + 1.

             cosm x        cos2k+1 x        (1 − sin2 x)k
          Z              Z                Z
                    dx =             dx =                 d sin x.
             sinn x         sinn x             sinn x
éÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÐÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ×ÉÄÁ tm dt.
                                                     R

Страницы