Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

32 çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ
ðÒÉÍÅÒ 43.
Z
cos
3
x
sin
2
x
dx =
Z
(1 − sin
2
x)
sin
2
x
d sin x =
Z
dt
t
2
−
Z
dt =
= −
1
t
− t + C = −
1
sin x
− sin x + C,
ÇÄÅ t = sin x.
4. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ
R
dx
cos
m
x sin
n
x
, m > 0, n > 0.
Z
dx
cos
m
x sin
n
x
=
Z
cos
2
x + sin
2
x
cos
m
x · sin
n
x
dx =
=
Z
dx
cos
m−2
x sin
n
x
+
Z
dx
cos
m
x sin
n−2
x
,
ÐÏ×ÔÏÒÉ× ÜÔÏÔ ÐÒÉÅÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÚ, Ó×ÏÄÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ë ÐÒÅÄÙ-
ÄÕÝÉÍ ÔÉÐÁÍ.
ðÒÉÍÅÒ 44.
Z
dx
cos
3
x sin
2
x
=
Z
cos
2
x + sin
2
x
cos
3
x · sin
2
x
dx =
=
Z
dx
cos x sin
2
x
+
Z
dx
cos
3
x
=
Z
cos
2
x + sin
2
x
cos x sin
2
x
dx+
+
Z
dx
cos
3
x
=
Z
cos x
sin
2
x
dx +
Z
dx
cos
3
x
+
Z
dx
cos
3
x
.
åÓÌÉ m + n = 2k, ÔÏ ÐÒÏÝÅ ÄÅÌÉÔØ ÞÌÅÎÙ ÄÒÏÂÉ ÎÁ cos
m+n
x.
Z
dx
cos
m
x sin
n
x
=
Z
dx
cos
m+n
x
cos
m
x sin
n
x
cos
m+x
x
=
=
Z
dx
cos
2k
x tg
n
x
=
Z
(1 + tg
2
x)
k−1
· tg
−n
x d tg x =
=
Z
t
−n
(1 + t
2
)
k−1
dt,
ÇÄÅ t = tg x.
32           çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

     ðÒÉÍÅÒ 43.

      cos3 x            (1 − sin2 x)                 dt
  Z                 Z                               Z     Z
             dx =                    d sin x =           − dt =
      sin2 x               sin2 x                    t2
                                                        1         1
                                                    =− −t+C =−        − sin x + C,
                                                        t       sin x

ÇÄÅ t = sin x.
                                   dx
                     R
   4. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ          cosm x sinn x ,   m > 0, n > 0.


           dx               cos2 x + sin2 x
  Z                     Z
                    =                       dx =
      cosm x sinn x         cosm x · sinn x
                                                     dx                  dx
                                             Z                   Z
                                           =                n  +                   ,
                                                cosm−2 x sin x     cosm x sinn−2 x

ÐÏ×ÔÏÒÉ× ÜÔÏÔ ÐÒÉÅÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÚ, Ó×ÏÄÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ë ÐÒÅÄÙ-
ÄÕÝÉÍ ÔÉÐÁÍ.
   ðÒÉÍÅÒ 44.

           dx            cos2 x + sin2 x
  Z                   Z
                    =                     dx =
      cos3 x sin2 x       cos3 x · sin2 x
                         dx               dx          cos2 x + sin2 x
                   Z                 Z            Z
                =                 +             =                     dx+
                     cos x sin2 x        cos3 x         cos x sin2 x
                                        dx         cos x             dx         dx
                                   Z            Z                Z           Z
                                +             =           dx  +            +          .
                                      cos3 x       sin2 x           cos3 x     cos3 x

     åÓÌÉ m + n = 2k, ÔÏ ÐÒÏÝÅ ÄÅÌÉÔØ ÞÌÅÎÙ ÄÒÏÂÉ ÎÁ cosm+n x.

           dx                    dx
  Z                   Z
                    =                 m x sinn x  =
      cosm x sinn x      cosm+n x coscosm+x  x
                          dx
                  Z                Z
               =        2k   n   = (1 + tg2 x)k−1 · tg−n x d tg x =
                     cos x tg x
                                                          Z
                                                        = t−n(1 + t2 )k−1 dt,

ÇÄÅ t = tg x.

Страницы