Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 33
ðÒÉÍÅÒ 45.
Z
dx
cos x sin
3
x
=
Z
dx
cos
4
x tg
3
x
=
=
Z
(1 + tg
2
x) tg
−3
x d tg x =
Z
t
−3
(1 + t) dt =
=
Z
(t
−3
+ t
−2
) dt = −
1
2 tg
2
x
−
1
tg x
+ C.
III. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ
Z
sin(ax + b) cos(cx + p) dx,
Z
sin(ax + b) sin(cx + p) dx,
Z
cos(ax + b) cos(cx + p) dx
ÕÐÒÏÝÁÀÔÓÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÖÄÅÓÔ×
sin α cos β =
1
2
(sin(α + β) + sin(α − β)),
sin α sin β =
1
2
(cos(α − β) − cos(α + β)),
cos α cos β =
1
2
(cos(α + β) + cos(α − β)).
ðÒÉÍÅÒ 46.
Z
sin(3x + 1) cos(2x + 3) dx =
1
2
Z
(sin(5x + 4)+
+ sin(x − 2)) dx =
1
2
Z
sin(5x + 4)
5
d(5x + 4)+
+
Z
sin(x − 2) d(x − 2)
= −
cos(5x + 4)
10
−
cos(x − 2)
2
+ C.
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÐÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÍÏÖÎÏ
ÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ üÊÌÅÒÁ
sin x =
1
2i
(e
ix
− e
−ix
), cos x =
1
2
(e
ix
+ e
−ix
).
§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .                                                   33

  ðÒÉÍÅÒ 45.

         dx                   dx
 Z                    Z
                  =                    =
     cos x sin3 x         cos4 x tg3 x
                      Z                               Z
                                  2     −3
                =         (1 + tg x) tg      x d tg x = t−3(1 + t) dt =
                                                                      1     1
                                               Z
                                             = (t−3 + t−2 ) dt = −        −     + C.
                                                                   2 tg2 x tg x

  III. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ
                              Z
                                  sin(ax + b) cos(cx + p) dx,
                              Z
                                  sin(ax + b) sin(cx + p) dx,
                              Z
                                  cos(ax + b) cos(cx + p) dx

ÕÐÒÏÝÁÀÔÓÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÖÄÅÓÔ×
                                    1
                      sin α cos β =   (sin(α + β) + sin(α − β)),
                                    2
                                    1
                       sin α sin β = (cos(α − β) − cos(α + β)),
                                    2
                                    1
                      cos α cos β = (cos(α + β) + cos(α − β)).
                                    2
  ðÒÉÍÅÒ 46.

                                  1
 Z                                         Z
     sin(3x + 1) cos(2x + 3) dx =     (sin(5x + 4)+
                                  2
                                     Z
                                   1      sin(5x + 4)
                + sin(x − 2)) dx =                    d(5x + 4)+
                                   2           5
                                         
                                                 cos(5x + 4) cos(x − 2)
                   Z
                 + sin(x − 2) d(x − 2) = −                  −           + C.
                                                     10          2

  ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÐÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÍÏÖÎÏ
ÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ üÊÌÅÒÁ
                             1 ix                          1 ix
                 sin x =        (e − e−ix ),     cos x =     (e + e−ix ).
                             2i                            2

Страницы