Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

44 çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ [α, β], ÔÏÇÄÁ
b
Z
a
f(x) dx =
β
Z
α
f(ϕ(t))ϕ
0
(t) dt.
5) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ u(x) É v(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a, b], Á ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄ-
ÎÙÅ u
0
(x) É v
0
(x) ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a, b], ÔÏÇÄÁ
b
Z
a
u(x) · v
0
(x) dx = u(x) · v(x)
b
a
−
b
Z
a
v(x) · u
0
(x) dx.
ðÒÉÍÅÒ 1. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 3).
1
Z
0
dx
√
1 + x
2
= ln(x +
p
1 + x
2
)
1
0
= ln(1 +
√
2) − ln 1 = ln(1 +
√
2).
ðÒÉÍÅÒ 2. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 3).
2π
Z
0
sin x dx = −cos x
2π
0
= −(cos 2π − cos 0) = 0.
ðÒÉÍÅÒ 3. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 4).
3
Z
0
p
9 − x
2
dx,
ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ x = 3 sin t, t ∈ [0, π/2]. éÍÅÅÍ
3
Z
0
p
9 − x
2
dx =
π/2
Z
0
p
9 − 9 sin
2
t 3 cos t dt =
= 9
π/2
Z
0
cos
2
t dt =
9
2
t +
sin 2t
2
π/2
0
=
9π
4
.
ðÒÉÍÅÒ 4. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 4).
2
Z
1
√
x
2
− 1
x
4
dx,
44            çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ [α, β], ÔÏÇÄÁ
                               Zb                Zβ
                                    f (x) dx =         f (ϕ(t))ϕ0(t) dt.
                                a                  α

  5) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ u(x) É v(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a, b], Á ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄ-
ÎÙÅ u0(x) É v 0 (x) ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a, b], ÔÏÇÄÁ
                Zb                                          b   Zb
                     u(x) · v 0 (x) dx = u(x) · v(x) −               v(x) · u0(x) dx.
                                                            a
                a                                               a

     ðÒÉÍÅÒ 1. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 3).
       Z1                                    √     1            √
              dx            p
            √       = ln(x + 1 + x2) = ln(1 + 2) − ln 1 = ln(1 + 2).
             1 + x2                 0
       0

     ðÒÉÍÅÒ 2. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 3).
                    Z2π                        2π
                          sin x dx = − cos x           = −(cos 2π − cos 0) = 0.
                                               0
                     0

     ðÒÉÍÅÒ 3. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 4).
                                         Z3 p
                                                 9 − x2 dx,
                                         0

ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ x = 3 sin t, t ∈ [0, π/2]. éÍÅÅÍ

 Z3 p               Zπ/2p
        9 − x2 dx =      9 − 9 sin2 t 3 cos t dt =
  0                        0
                                                Zπ/2                                  π/2
                                                             9      sin 2t                        9π
                                             = 9 cos2 t dt =     t+                           =      .
                                                             2        2                 0          4
                                                       0

     ðÒÉÍÅÒ 4. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 4).
                                         Z2 √ 2
                                             x −1
                                                  dx,
                                              x4
                                         1

Страницы