Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á. . . 43
òÁÚÂÉÅÎÉÅ T ÏÔÒÅÚËÁ [a, b] ×ÍÅÓÔÅ Ó ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÔÏÞÅË ξ =
{ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
} ÎÁÚÏ×ÅÍ ÒÁÚÍÅÞÅÎÎÙÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅÍ [a, b] É ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ
T ξ. ðÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f : [z, b] → R É ÒÁÚÍÅÞÅÎÎÏÍÕ ÒÁÚÂÉÅÎÉÀ Tξ Ó
ÄÉÁÍÅÔÒÏÍ d(T ) > 0 ÐÏÓÔÒÏÉÍ ÓÕÍÍÕ
S
f
(T ξ) =
n
X
i=1
f(ξ
i
)(x
i
− x
i−1
).
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. éÎÔÅÇÒÁÌÏÍ òÉÍÁÎÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [a, b] ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ I (ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ), ÞÔÏ lim
d(T )→0
S
f
(T ξ) = I.
ïÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌ òÉÍÁÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: I =
b
R
a
f(x) dx. úÄÅÓØ
É ÄÁÌØÛÅ ÐÏÌÁÇÁÅÍ:
a
R
a
f(x) dx = 0 É
b
R
a
f(x) dx = −
a
R
b
f(x) dx.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÎÔÅÇÒÁÌ òÉÍÁÎÁ I =
b
R
a
f(x) dx ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ a, b É f , ÎÏ ÎÅ ÚÁ-
×ÉÓÉÔ ÏÔ x, Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ¤ÎÅÍÏÊ¥ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ (ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ),
× ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
R
f(x) dx = F (x) + C ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ
x.
îÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ òÉÍÁÎÁ.
1) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) É g(x) ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a, b], ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ
α É β ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ:
b
Z
a
(αf(x) + βg(x)) dx = α
b
Z
a
f(x) dx + β
b
Z
a
g(x) dx.
2) ðÕÓÔØ a < c < b, ÔÏÇÄÁ
b
Z
a
f(x) dx =
c
Z
a
f(x) dx +
b
Z
c
f(x) dx.
3) ðÕÓÔØ f(x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ [a, b]. ðÕÓÔØ F (x) =
R
f(x) dx ¡ ÎÅÏÐÒÅÄÅ-
ÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) ÎÁ [a, b], ÔÏÇÄÁ:
b
Z
a
f(x) dx = F (x)
b
a
= F (b) − F (a).
4) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f(x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ [a, b]. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(t) É ϕ
0
(t)
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ ÎÁ [α, β], ÐÒÉÞÅÍ ϕ(α) = a, ϕ(β) = b É f(ϕ(t)) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ É
§2. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á. . .                                                        43

òÁÚÂÉÅÎÉÅ T ÏÔÒÅÚËÁ [a, b] ×ÍÅÓÔÅ Ó ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÔÏÞÅË ξ =
{ξ1, ξ2 , . . . , ξn } ÎÁÚÏ×ÅÍ ÒÁÚÍÅÞÅÎÎÙÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅÍ [a, b] É ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ
T ξ. ðÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f : [z, b] → R É ÒÁÚÍÅÞÅÎÎÏÍÕ ÒÁÚÂÉÅÎÉÀ T ξ Ó
ÄÉÁÍÅÔÒÏÍ d(T ) > 0 ÐÏÓÔÒÏÉÍ ÓÕÍÍÕ
                                          n
                                          X
                             Sf (T ξ) =         f (ξi)(xi − xi−1).
                                          i=1

  ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. éÎÔÅÇÒÁÌÏÍ òÉÍÁÎÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [a, b] ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ I (ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ), ÞÔÏ lim Sf (T ξ) = I.
                                                                           d(T )→0
                                                                                        Rb
  ïÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌ òÉÍÁÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: I =                                        f (x) dx. úÄÅÓØ
                                                                                        a
                       Ra                       Rb                    Ra
É ÄÁÌØÛÅ ÐÏÌÁÇÁÅÍ:          f (x) dx = 0 É           f (x) dx = −          f (x) dx.
                       a                        a                      b
                                                      Rb
  úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÎÔÅÇÒÁÌ òÉÍÁÎÁ I =                           f (x) dx ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ a, b É f , ÎÏ ÎÅ ÚÁ-
                                                      a
×ÉÓÉÔ ÏÔ x, Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ¤ÎÅÍÏÊ¥ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊR (ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ),
× ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ f (x) dx = F (x) + C ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ
x.
   îÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ òÉÍÁÎÁ.
   1) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) É g(x) ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a, b], ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ
α É β ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ:
             Zb                                      Zb                    Zb
                  (αf (x) + βg(x)) dx = α                  f (x) dx + β            g(x) dx.
             a                                       a                     a

  2) ðÕÓÔØ a < c < b, ÔÏÇÄÁ
                      Zb                  Zc                   Zb
                            f (x) dx =         f (x) dx +           f (x) dx.
                       a                  a                     c
                                                                               R
   3) ðÕÓÔØ f (x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ [a, b]. ðÕÓÔØ F (x) =                              f (x) dx ¡ ÎÅÏÐÒÅÄÅ-
ÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ [a, b], ÔÏÇÄÁ:
                       Zb                            b
                            f (x) dx = F (x)              = F (b) − F (a).
                                                     a
                       a

   4) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ [a, b]. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(t) É ϕ0(t)
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ ÎÁ [α, β], ÐÒÉÞÅÍ ϕ(α) = a, ϕ(β) = b É f (ϕ(t)) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ É

Страницы