Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 9
ôÏÇÄÁ, ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ t = u(x), ÐÏ ÓËÁÚÁÎÎÏÍÕ ×ÙÛÅ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ
ÎÁÊÔÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
Z
f(t) dt, t = u(x).
éÚÌÏÖÅÎÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÐÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ×ÉÄÁ:
1)
R
f(ax + b) dx,
ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = ax + b, ÐÏÌÕÞÉÍ:
Z
f(ax + b) dx =
1
a
Z
f(ax + b) d(ax + b) =
1
a
Z
f(t) dt;
2)
R
f(sin x) cos x dx,
ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = sin x, ÐÏÌÕÞÉÍ:
Z
f(sin x) cos x dx =
Z
f(sin x)d sin x =
Z
f(t) dt;
3)
R
f(cos x) sin x dx,
ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = cos x, ÐÏÌÕÞÉÍ:
Z
f(cos x) sin x dx = −
Z
f(cos x) d cos x = −
Z
f(t) dt;
4)
R
f(tg x)
1
cos
2
x
dx,
ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = tg x, ÐÏÌÕÞÉÍ:
Z
f(tg x)
dx
cos
2
x
=
Z
f(tg x) d tg x =
Z
f(t) dt;
5)
R
(ln x)
1
x
dx,
ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = ln x, ÐÏÌÕÞÉÍ:
Z
f(ln x)
dx
x
=
Z
f(ln(x)) d ln x =
Z
f(t) dt;
6)
R
f(e
x
)e
x
dx,
ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = e
x
, ÐÏÌÕÞÉÍ:
Z
f(e
x
)e
x
dx =
Z
f(e
x
) de
x
=
Z
f(t) dt;
7)
R
(ax
2
+ b)
p
x dx,
ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = ax
2
+ b, ÐÏÌÕÞÉÍ:
Z
(ax
2
+ b)
p
x dx =
1
2
Z
(ax
2
+ b)
p
dx
2
=
1
2a
Z
(ax
2
+ b)
p
d(ax
2
+ b) =
1
2a
Z
t
p
dt.
§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .                                               9

ôÏÇÄÁ, ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ t = u(x), ÐÏ ÓËÁÚÁÎÎÏÍÕ ×ÙÛÅ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ
ÎÁÊÔÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
                          Z
                            f (t) dt, t = u(x).

éÚÌÏÖÅÎÎÙÊ
     R        ÍÅÔÏÄ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÐÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ×ÉÄÁ:
   1) f (ax + b) dx,
ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = ax + b, ÐÏÌÕÞÉÍ:
                                1                          1
          Z                       Z                          Z
             f (ax + b) dx =        f (ax + b) d(ax + b) =     f (t) dt;
                                a                          a
     R
   2) f (sin x) cos x dx,
ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = sin x, ÐÏÌÕÞÉÍ:
              Z                       Z                   Z
                 f (sin x) cos x dx = f (sin x)d sin x = f (t) dt;
     R
   3) f (cos x) sin x dx,
ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = cos x, ÐÏÌÕÞÉÍ:
          Z                         Z                     Z
              f (cos x) sin x dx = − f (cos x) d cos x = − f (t) dt;

   4) f (tg x) cos12 x dx,
     R
ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = tg x, ÐÏÌÕÞÉÍ:
                                dx
                 Z                     Z                 Z
                      f (tg x) 2 = f (tg x) d tg x = f (t) dt;
                               cos x
   5) (ln x) x1 dx,
     R
ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = ln x, ÐÏÌÕÞÉÍ:
                                dx
                   Z                 Z                  Z
                       f (ln x)    = f (ln(x)) d ln x = f (t) dt;
                                x
   6) f (ex )ex dx,
     R
ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = ex , ÐÏÌÕÞÉÍ:
                       Z               Z              Z
                              x x           x     x
                          f (e )e dx = f (e ) de = f (t) dt;

   7) (ax2 + b)p x dx,
     R
ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = ax2 + b, ÐÏÌÕÞÉÍ:
                    1                     1                            1
Z                     Z                     Z                            Z
  (ax2 + b)p x dx =     (ax2 + b)p dx2 =      (ax2 + b)p d(ax2 + b) =      tp dt.
                    2                    2a                           2a

Страницы