Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 7
3)
R
df(x) =
R
f
0
(x) dx.
ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÒÁ×ÉÌÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ×.
1) ðÕÓÔØ ÎÁ (a, b) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ
R
g(x) dx É
R
f(x) dx. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ α É β ÎÁ (a, b) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ:
Z
(αf(x) + βg(x)) dx = α
Z
f(x) dx + β
Z
g(x) dx.
2) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ u(x), v(x) ÉÍÅÀÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ u
0
(x), v
0
(x)
ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ (a, b). ôÏÇÄÁ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:
Z
u(x)v
0
(x) dx = u(x)v(x) −
Z
v(x)u
0
(x) dx
ÉÌÉ
Z
u dv = uv −
Z
v du.
3) ðÕÓÔØ ÎÁ (α; β) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
R
f(t) dt =
= F (t) + C. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ t = u(x) ÉÍÅÅÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ u
0
(x)
ÎÁ (a, b) É u((a, b)) ⊂ (α, β). ôÏÇÄÁ ÎÁ (a, b) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:
Z
f(u(x))u
0
(x) dx =
Z
f(u(x)) du(x) = F (u(x)) + C
=
Z
f(t) dt
.
4) ðÕÓÔØ ÓÔÒÏÇÏ ÍÏÎÏÔÏÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ x = ω(t) ÉÍÅÅÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÐÒÏÉÚ-
×ÏÄÎÕÀ ω
0
(t) ÎÁ (α, β) É ω(t) : (α; β) → (a, b). ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f(x) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ
ÎÁ (a, b) É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
Z
f(ω(t))ω
0
(t) dt =
Z
g(t) dt = G(t) + C.
ôÏÇÄÁ ÎÁ (a, b) ÉÍÅÅÍ:
Z
f(x) dx =
Z
f(ω(t)) dω(t) =
Z
f(ω(t))ω
0
(t) dt = G(t) + C = G(v(x)) + C,
ÇÄÅ t = v(x) ¡ ÆÕÎËÃÉÑ, ÏÂÒÁÔÎÁÑ Ë ÆÕÎËÃÉÉ x = ω(t).
ôÁÂÌÉÃÁ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ×.
1)
R
0 · dx = C;
2)
R
1 dx = x + C;
3)
R
x
α
dx =
x
α+1
α+1
+ C (α 6= −1);
4)
R
dx
x
= ln |x| + C (x 6= 0);
5)
R
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C (0 < a 6= 1),
R
e
x
dx = e
x
+ C;
6)
R
sin x dx = −cos x + C;
7)
R
cos x dx = sin x + C;
8)
R
dx
cos
2
x
= tg x + C (x 6=
π
2
+ πn; n = 0; ±1; ±2; . . .);
§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .                                 7

3) df (x) = f 0(x) dx.
   R          R

   ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÒÁ×ÉÌÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ×. R
R 1) ðÕÓÔØ ÎÁ (a, b) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ g(x) dx É
  f (x) dx. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ α É β ÎÁ (a, b) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ:
               Z                        Z            Z
                 (αf (x) + βg(x)) dx = α f (x) dx + β g(x) dx.

   2) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ u(x), v(x) ÉÍÅÀÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ u 0(x), v 0 (x)
ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ (a, b). ôÏÇÄÁ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:
                Z                           Z
                   u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − v(x)u0(x) dx
                        0


ÉÌÉ                          Z                 Z
                                 u dv = uv −       v du.
                                                                   R
   3) ðÕÓÔØ ÎÁ (α; β) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ f (t) dt =
= F (t) + C. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ t = u(x) ÉÍÅÅÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ u 0(x)
ÎÁ (a, b) É u((a, b)) ⊂ (α, β). ôÏÇÄÁ ÎÁ (a, b) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:
     Z                      Z                               Z         
        f (u(x))u0(x) dx = f (u(x)) du(x) = F (u(x)) + C = f (t) dt .

   4) ðÕÓÔØ ÓÔÒÏÇÏ ÍÏÎÏÔÏÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ x = ω(t) ÉÍÅÅÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÐÒÏÉÚ-
×ÏÄÎÕÀ ω 0 (t) ÎÁ (α, β) É ω(t) : (α; β) → (a, b). ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ
ÎÁ (a, b) É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
                    Z                     Z
                                 0
                       f (ω(t))ω (t) dt = g(t) dt = G(t) + C.

ôÏÇÄÁ ÎÁ (a, b) ÉÍÅÅÍ:
 Z            Z               Z
   f (x) dx = f (ω(t)) dω(t) = f (ω(t))ω 0(t) dt = G(t) + C = G(v(x)) + C,

ÇÄÅ t = v(x) ¡ ÆÕÎËÃÉÑ, ÏÂÒÁÔÎÁÑ Ë ÆÕÎËÃÉÉ x = ω(t).
   RôÁÂÌÉÃÁ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ×.
1) R 0 · dx = C;
2) 1 dx = x + C;
                α+1
3) xα dx = xα+1 + C (α 6= −1);
   R

4) R dx
   R
      x = ln |x|x + C   (x 6= 0);
5) R ax dx = lna a + C (0 < a 6= 1), ex dx = ex + C;
                                    R

6) R sin x dx = − cos x + C;
7) R cos x dx = sin x + C;
8) cosdx2 x = tg x + C (x 6= π2 + πn; n = 0; ±1; ±2; . . .);

Страницы