Нелинейные и линейные колебания математического маятника в прецизионном измерении ускорения свободного падения. Сапогин В.Г. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

8
неравенству 22
<
<−
ε
, совершают нелинейные колебания. Они ограничены
справа значением угла
0
θ
, а слева нулевым значением угла (финитные по углу
состояния движения). Значение угла
0
θ
зависит от энергии и находится из ра-
венства 0=
θ
&
или )(u
0
θ
ε
=
:
)/arccos(
2
0
ε
θ
−
=
. (4.17)
На рис. 4.2 2
010
/
π
θ
θ
<
= для значения ε
1
=-1,5, а 2
020
/
π
θ
θ
>
=
для значения
ε
2
=1,5.
При значении
ε=-2 маятник покоится на дне ямы, а при ε>2 неравномерно
вращается (инфинитные по углу состояния движения
π
θ
≤
≤
0). Значение ε=2
отмечено пунктирной прямой. Оно разделяет упомянутые выше два вида со-
стояний и называется сепаратриссой.
Найдем период нелинейных колебаний ММ при условии, что 22
<
<
−
ε
.
Тогда интегрирование в (4.16) сводится к квадратуре
∫
−
=
0
0
0
4
θ
θε
θ
ω
)(u
d
/T , (4.18)
где T – период нелинейных колебаний.
Интеграл в (4.18) в элементарных функциях не берётся, а выражается че-
рез специальную функцию, которая называется полным эллиптическим инте-
гралом I рода K(k)
∫
−
==
∫
+
2
0
22
0
1
2
0
/
sink
d
)k(K
cos
d
π
θ
ϕ
ϕ
θε
θ
, (4.19)
где
1420 ≤=+=≤
αε
sin/)(k называют параметром состояния ММ, а угол α
называют модулярным углом эллиптического интеграла. Зависимость значений
полного эллиптического интеграла от модулярного угла α даётся на рис. 4.3. Из
нее видно, что с ростом α, а стало быть и k, значение интеграла возрастает.
Выражая в (4.18) период нелинейных колебаний через период линейных
колебаний получим
)k(K
T
T
π
0
2
= . (4.20)
Из (4.20) видно, что период нелинейных колебаний всегда больше периода
линейных колебаний маятника и при
∞
→→
,
k
1 . Если 2
−
→
ε
, то
0→
k
и 2/
)
k
(
K
π
→ , а
0
TT → .
Оценим значение периода нелинейных колебаний для 0=
ε
(рассматри-
ваются колебания маятника с нулевой полной энергией). При 0=
ε
угловая ам-
плитуда колебаний 2
0
/
π
θ
= , параметр состояния 21/
k
=
, модулярный угол
α=45
0
, а значение
8541121 ,)/(K =
. Тогда
181
14153
854112
0
,
,
,
T
T
=
⋅
= . (4.21)

Страницы