Курс лекций по микроэкономике. Савицкая Е.В. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

40
Однако графический анализ не позволяет вывести функции спроса потребителя. Здесь
предлагается
авторское решение задачи потребительского выбора для случая совершенных
комплементов, которое не приводится в других учебниках по микроэкономике. Возможно, вам
удастся найти более простое и элегантное решение данной задачи.
Из уравнения бюджетного ограничения выразим
2
x
через
1
x
и подставим это выражение в
функцию полезности:
1
2
1
2
2
x
p
p
p
I
x ⋅−=
⇒
⋅−⋅⋅= )(,min)(
1
2
1
2
11
x
p
p
p
I
bxaxU
Теперь
U
зависит только от одной переменной –
1
x . В фигурных скобках представлены фактически два
типа зависимости
U
от
1
x
:
11
)( xaxU
⋅
=
1
2
1
2
1
)( x
p
p
b
p
I
bxU ⋅⋅−⋅=
. Обе зависимости
линейные и представлены на рис.
2.7 в виде прямых.
Прямая
1
xaU
⋅
=
имеет положительный наклон
)( at
g
=
α
. Вторая зависимость отрицательная:
2
1
p
p
btg ⋅−=
β
. Для того, чтобы определить
минимальное значение функции, мы сравниваем два значения
U
на каждой из прямых
1
x
∀
.
Очевидно, что на интервале
[
)
*
11
,0 xx ∈ :
,)(
111
2
1
2
1
xaxUx
p
p
b
p
I
bxa ⋅=⇒⋅⋅−⋅<⋅
а на интервале
),(
/
1
*
11
xxx ∈ :
1
2
1
2
11
2
1
2
1
)( x
p
p
b
p
I
bxUx
p
p
b
p
I
bxa ⋅⋅−⋅=⇒⋅⋅−⋅>⋅
В точке
*
1
x :
1
2
1
2
11
)( x
p
p
b
p
I
bxaxU ⋅⋅−⋅=⋅=
Итак, мы определили
)(
1
xU как минимальное из двух наблюдаемых значений
U
1
x
∀
. На рис.
2.7 это – жирно выделенная часть графика. А теперь, чтобы максимизировать функцию полезности,
нужно из минимальных значений
U
найти максимальное значение. На графике видно, что максимум
)(
1
xU наблюдается в точке С, то есть при
*
1
x . В этой точке выполняется равенство:
U=b·
2
P
I
-b·
2
1
P
P
·x
1
U=a·
1
β
0
α
U
Рис. 2.7.
X
'
1
X
*
1
x
1
С 
         Однако графический анализ не позволяет вывести функции спроса потребителя. Здесь
предлагается авторское решение задачи потребительского выбора для случая совершенных
комплементов, которое не приводится в других учебниках по микроэкономике. Возможно, вам
удастся найти более простое и элегантное решение данной задачи.
         Из уравнения бюджетного ограничения выразим x2 через x1 и подставим это выражение в
функцию полезности:

                 I   p                                                               I   p       
         x2 =      − 1 ⋅ x1         ⇒                  U ( x1 ) = min a ⋅ x1 , b ⋅ (   − 1 ⋅ x1 )
                 p2 p2                                                               p2 p2       
                                                                              Теперь U зависит только от одной переменной –
 U
                                                                       x1 . В фигурных скобках представлены фактически два
              I   P
          U=b· -b· 1 ·x1
              P2  P2                                                   типа     зависимости          U      от    x1 :   U ( x1 ) = a ⋅ x1
                                                                                        I       p
                                U=a·x1                                 U ( x1 ) = b ⋅      − b ⋅ 1 ⋅ x1 .        Обе       зависимости
                         С                                                              p2      p2
                                                                       линейные и представлены на рис. 2.7 в виде прямых.

                                          β                            Прямая     U = a ⋅ x1 имеет положительный наклон
             α
     0                  X 1*            X 1'                      x1   (tgα = a) .        Вторая     зависимость         отрицательная:

         Рис. 2.7.                                                                      p1
                                                                       tgβ = −b ⋅          .   Для       того,   чтобы      определить
                                                                                        p2
минимальное значение функции, мы сравниваем два значения U на каждой из прямых ∀x1 .

Очевидно, что на интервале x1 ∈ 0, x1 :            [      *
                                                              )
                         I       p
         a ⋅ x1 < b ⋅       − b ⋅ 1 ⋅ x1 ⇒ U ( x1 ) = a ⋅ x1 ,
                         p2      p2

         а на интервале x1 ∈ ( x1 , x1 ) :
                                    *          /



                         I       p                        I       p
         a ⋅ x1 > b ⋅       − b ⋅ 1 ⋅ x1 ⇒ U ( x1 ) = b ⋅    − b ⋅ 1 ⋅ x1
                         p2      p2                       p2      p2
                    *
         В точке x1 :

                                   I       p
         U ( x1 ) = a ⋅ x1 = b ⋅      − b ⋅ 1 ⋅ x1
                                   p2      p2
         Итак, мы определили U ( x1 ) как минимальное из двух наблюдаемых значений U ∀x1 . На рис.

2.7 это – жирно выделенная часть графика. А теперь, чтобы максимизировать функцию полезности,
нужно из минимальных значений U найти максимальное значение. На графике видно, что максимум

U ( x1 ) наблюдается в точке С, то есть при x1* . В этой точке выполняется равенство:
                                                                                                                                       40

Страницы