Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГОСГИ | Коломна

Составители: 

Рубрика: 

10 Решение дифференциальных уравнений численным методом
точке 2/
2/1
xxx
o
Δ+= :
()
2
,,
2/1
x
yyxfyy
oooo
Δ
⋅+≈
&&&
где введены обозначения
(
)
(
)
2/12/1
2/ xyxxyy
o
&&&
=
Δ
+
= и
()
oo
xyy
&&
=
.
4. Вычислить значение функции у(х) в точке xxx
o
Δ
+
=
1
:
xyyy
o
Δ⋅+≈
2/11
&
.
5. Повторить процедуру, описанную в пп. 3 и 4 и найти
1) значение функции y
&
(х) в точке
xxx
Δ
+
=
2/12/3
()
xyyxfyxyy
Δ
⋅
+≈=
2/1112/12/32/3
,,)(
&&&&
;
2) значение функции у(х) в точке
xxx
Δ
+
=
12
xyyxyy Δ⋅
+
≈=
2/3122
)(
&
и т.д. для всех значений переменной х.
Полученные в результате решения ДУ методом половинного интервала
значения можно представить в виде таблицы:
х
y
&
х у
х
о
o
y
&
х
о
у
o
х
1/2
=х
о
+Δх/2
()
2,,
2/1
xyyxfyy
oooo
Δ
⋅
+
≈
&&&
х
1
=х
о
+Δх
xyyy
o
Δ
⋅+≈
2/11
&
х
3/2
=х
1/2
+Δх
()
xyyxfyy
Δ
⋅
+
≈
2/1112/12/3
,,
&&&
х
2
=х
1
+Δх
xyyy
Δ
⋅+≈
2/312
&
х
5/2
=х
3/2
+Δх
()
xyyxfyy
Δ
⋅
+
≈
2/3222/32/5
,,
&&&
х
3
=х
2
+Δх
xyyy
Δ
⋅
+≈
2/523
&
…
…
…
…
x
i+1/2
=х
i-1/2
+Δх
2/1+i
y
&
x
i+1
=х
i
+Δх
xyyy
iii
Δ
⋅
+≈
++ 2/11
&
…
…
…
…
Таким образом, вычисление значений функций )(
x
y
&
и )(
x
y проводится в
точках, смещенных относительно друг друга на половину шага ∆х. Отсюда и
название метода – метод половинного интервала. 
10                               Решение дифференциальных уравнений численным методом


точке x1/ 2 = xo + Δx / 2 :
       y&1 / 2 ≈ y& o + f ( xo , yo , y& o ) ⋅ Δx
                                                    2
где введены обозначения y&1 / 2                    = y& ( xo + Δx / 2 ) = y& ( x1 / 2 ) и y& o = y& ( xo ) .
     4. Вычислить значение функции у(х) в точке x1 = xo + Δx :
       y1 ≈ yo + y&1 / 2 ⋅ Δx .
   5. Повторить процедуру, описанную в пп. 3 и 4 и найти
1) значение функции y& (х) в точке x3 / 2 = x1 / 2 + Δx
       y& 3 / 2 = y& ( x3 / 2 ) ≈ y&1 / 2 + f ( x1 , y1 , y&1 / 2 ) ⋅ Δx ;
2) значение функции у(х) в точке x2 = x1 + Δx
       y 2 = y ( x2 ) ≈ y1 + y& 3 / 2 ⋅ Δx
и т.д. для всех значений переменной х.
        Полученные в результате решения ДУ методом половинного интервала
значения можно представить в виде таблицы:
         х                                y&                                х                 у
 хо               y& o                                                 хо         уo
 х1/2=хо+Δх/2     y&1 / 2 ≈ y&o + f ( xo , yo , y&o ) ⋅ Δx 2 х1=хо+Δх y1 ≈ yo + y&1 / 2 ⋅ Δx
 х3/2=х1/2+Δх     y& 3 / 2 ≈ y&1 / 2 + f ( x1 , y1 , y&1 / 2 ) ⋅ Δx х2=х1+Δх y 2 ≈ y1 + y& 3 / 2 ⋅ Δx
 х5/2=х3/2+Δх     y& 5 / 2 ≈ y& 3 / 2 + f ( x2 , y 2 , y& 3 / 2 ) ⋅ Δx х3=х2+Δх y3 ≈ y 2 + y& 5 / 2 ⋅ Δx
 …                …                                                    …          …
 xi+1/2=хi-1/2+Δх y& i +1 / 2                                          xi+1=хi+Δх yi +1 ≈ yi + y& i +1 / 2 ⋅ Δx
 …                …                                                    …          …
        Таким образом, вычисление значений функций y& (x) и y (x) проводится в
точках, смещенных относительно друг друга на половину шага ∆х. Отсюда и
название метода – метод половинного интервала.

Страницы