Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 6 стр.

6                     Решение дифференциальных уравнений численным методом


      1. Составить ДУ в виде (1), т.е. определить функцию f ( x, y ( x) ) , после чего
перейти к приближенным равенствам (2) и (2*).
      2. Задать начальные условия (хо, уо) и шаг изменения величины х.
Смоделировать значения переменной х:
    хо (исходное данное)
     x1 = xo + Δx
     x2 = x1 + Δx
    …
      3. Вычислить последовательно значения функции у(х) для всех значений
переменной х из заданного интервала:
    уо (исходное данное, см. п. 2)
     y1 = y ( x1 ) ≈ y ( xo ) + f ( xo , y ( xo ) ) ⋅ Δx = yo + f ( xo , yo ) ⋅ Δx
     y2 = y ( x2 ) ≈ y1 + f ( x1 , y1 ) ⋅ Δx
    …
Данный алгоритм можно переписать в виде итерационной формулы
     yi +1 = y ( xi+1 ) ≈ yi + f ( xi , yi ) ⋅ Δx , где xi +1 = xi + Δx и i=0, 1, 2, … (3)
       Полученные в результате решения ДУ значения можно представить в виде
таблицы:
             х                     у
         хо            уо
         х1=хо+Δх      y1 ≈ yo + f ( xo , yo ) ⋅ Δx
         х2=х1+Δх      y2 ≈ y1 + f ( x1 , y1 ) ⋅ Δx
         х3=х2+Δх      y3 ≈ y2 + f ( x2 , y2 ) ⋅ Δx
         …            …
         xi+1=хi+Δх    yi +1 ≈ yi + f ( xi , yi ) ⋅ Δx
         …            …
       Разобранный метод называется методом касательных или методом Эйлера.
Из (2) видно, что метод будет давать хорошее приближение к "истинному"
значению функции у(х), если приращение аргумента Δх достаточно мало.
Величина шага Δх зависит от конкретной задачи.
       Геометрическая          интерпретация           (3)
приведена на рисунке, из которого понятно, что
значение в (i+1)-ой точке оценивается по
значению функции и ее производной в i-ой точке,
при этом принимается, что значение производной
(т.е. угол наклона касательной) на отрезке [xi ; xi+1 ]
остается неизменным. Невыполнение данного
условия приводит к отклонению численного
решения от точного, которое может быть
уменьшено уменьшением Δх.