Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 7 стр.

Решение дифференциальных уравнений численным методом                                                  7


                                2. Решение ДУ второго порядка
     Решение ДУ второго порядка проводится                              аналогичным         образом.
Перепишем исходное дифференциальное уравнение
     d2 y         ⎛               dy ⎞
             =  f ⎜ x , y  ( x ),    ⎟                                                               (4)
     dx 2         ⎝               dx ⎠
в виде
       d ⎛ dy ⎞ dy&
           ⎜ ⎟=              = f ( x, y ( x), y& ( x) ) ,                                           (4*)
     dx ⎝ dx ⎠ dx
перейдя, тем самым, к дифференциальному уравнению первого порядка, где
                                                                 dy
дифференцируемой функцией является                                   = y& ( x ) , и заменим его конечно-
                                                                 dx
разностным аналогом:
                                  dy            ⎛ dy ⎞        ⎛ dy ⎞     ⎛ dy ⎞       ⎛ dy ⎞
                              Δ                 ⎜ ⎟          −⎜ ⎟        ⎜ ⎟         −⎜ ⎟
       d ⎛ dy ⎞                   dx = lim ⎝ dx ⎠ x + Δx ⎝ dx ⎠ x ≈ ⎝ dx ⎠ x + Δx ⎝ dx ⎠ x ≈
           ⎜ ⎟ = Δlim
     dx ⎝ dx ⎠ x →0 Δx                   Δx → 0            Δx                      Δx
                      y& ( x + Δx ) − y& ( x )
                  ≈                              ;
                                  Δx
      y& ( x + Δx ) − y& ( x )
                                 ≈ f ( x, y ( x), y& ( x) ).                                         (5)
               Δx
                                      dy
     Значение функции                      = y& ( x ) в точке х+Δх равно
                                      dx
     ⎛ dy ⎞           ⎛ dy ⎞           ⎛             dy ⎞
     ⎜ ⎟           ≈ ⎜ ⎟ + f ⎜ x, y ( x), ⎟ ⋅ Δx                                                     (6)
     ⎝ ⎠ x+Δx ⎝ ⎠ x
        d  x             d  x          ⎝             d x  ⎠
или
     y& ( x + Δx ) ≈ y& ( x ) + f ( x, y ( x), y& ( x )) ⋅ Δx .                                     (6*)
      Формулу для нахождения значения функции y (x) в точке х+Δх найдем из
определения производной:
     dy           y ( x + Δx ) − y ( x ) y ( x + Δx ) − y ( x )
          = lim                         ≈                       ,
     dx Δx →0              Δx                    Δx
откуда
                              ⎛ dy ⎞
     y ( x + Δx ) ≈ y ( x ) + ⎜ ⎟ ⋅ Δx                                 (7)
                              ⎝ dx ⎠ x
или
      y ( x + Δx ) ≈ y ( x ) + y& ( x ) ⋅ Δx .                                                    (7*)
     Рассмотренный метод называется методом полного интервала.
     Запишем алгоритм решения ДУ второго порядка методом полного
интервала: