Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 5 стр.

Решение дифференциальных уравнений численным методом                               5


                                ВВЕДЕНИЕ
            РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
                        ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ
      Большинство физических процессов описывается обыкновенными
дифференциальными уравнениями (ДУ) первого и второго порядка, причем в
общем случае эти уравнения не имеют аналитического решения, выражающегося
через элементарные функции (например, движение тела под действием
переменной силы). Такие уравнения решают численным методом, который
является приближенным, но при определенных условиях дает хорошее
совпадение с точным решением.
                       1. Решение ДУ первого порядка
      По определению, решением ДУ первого порядка, разрешенного
относительно производной
     dy
          = f ( x, y ( x ) ) ,                                                    (1)
     dx
называется дифференцируемая функция y=φ(x), удовлетворяющая этому
уравнению, т.е. такая, что ϕ′( x ) ≡ f ( x, ϕ( x) ) тождественно на некотором участке
изменения х.
      При численном решении ДУ вместо исходного дифференциального
уравнения ищется решение конечно-разностного ДУ, переход к которому
осуществляется следующим образом: вместо точного значения производной
рассматривают ее разностный аналог
     dy      Δy y ( x + Δx) − y ( x)
          →        =                             ,
     dx       Δx                Δx
где Δх – достаточно малая величина. Этот переход основан на определении
производной:
     dy           Δy             y ( x + Δx ) − y ( x ) y ( x + Δx ) − y ( x )
          = lim        = lim                           ≈                       .  (2)
     dx Δx →0 Δx Δx →0                     Δx                   Δx
Приближение тем точнее, чем меньше величина интервала ∆х.
      Тогда в конечных разностях уравнение (1) принимает вид:
     y ( x + Δx) − y ( x)
                               ≈ f ( x, y ( x ) ) .
              Δx
Отсюда сразу получаем формулу для нахождения значения функции у(х) в
точке х+Δх
     y ( x + Δx) ≈ y ( x) + f ( x, y ( x) ) ⋅ Δx .                               (2*)
       Таким образом, зная вид функции f ( x, y ( x) ) , значение функции у в точке
хо и задавая шаг Δх, можно последовательно (шаг за шагом) рассчитать значения
переменной у для всех значений переменной х из заданного диапазона.
       Составим алгоритм решения ДУ первого порядка.