Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 65 стр.

 Моделирование колебаний тела, погруженного в жидкость                                                                   65


        d2 x π ⋅ ρж                                      dx       tg 2 α
         m⋅  =      ⋅ tg 2
                           α ⋅ (ho − x )3
                                          ⋅ g − mg − f ⋅    ⋅ π ⋅        ⋅ (ho − x ) .
                                                                                    2
                                                                                                                        (4)
        dt 2
                3                                        dt       sin α
 После небольших преобразований выражение (4) принимает вид:
                      π ⋅ tg 2 α ⋅ (ho − x )
                                                  2
         d2 x                  ⎛ρ g                f    dx⎞
              = − g +        ⋅ ⎜ ж ⋅ (ho − x ) −      ⋅    ⎟.     (5)
         dt2                     m
                               ⎝ 3               sin α d t ⎠
      Решение его методом половинного интервала приводит к следующей
 системе уравнений:
⎧⎛ d x ⎞                         Δt π ⋅ tg 2α ⋅ (ho − xo ) ⎛ ρ ж g                         f ⎛ d x ⎞ ⎞ Δt
                                                            2
               ⎛dx⎞
⎪⎜ ⎟ ≈ ⎜ ⎟ − g ⋅ +                                            ⋅ ⎜⎜      ⋅ (ho − xo ) −         ⋅ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⋅ ;
⎪ ⎝ d  t ⎠1 2  ⎝  d t ⎠  o        2              m               ⎝   3                  sin α    ⎝ d t ⎠o ⎠ 2
⎪
                                           π ⋅ tg 2α ⋅ (ho − xi ) ⎛⎜ ρ ж g                                       ⎞
                                                                  2
⎪⎛ d x ⎞          ⎛dx⎞                                                                        f ⎛dx⎞
⎨ ⎜      ⎟    ≈   ⎜       ⎟     − g ⋅ Δt +                          ⋅
                                                                      ⎜
                                                                             ⋅ (h  − x  ) −        ⋅ ⎜     ⎟     ⎟ ⋅ Δt ; (6)
                                                                                            sin α ⎝ d t ⎠i −1 2 ⎟⎠
                                                                                 o    i
⎪⎝ d t ⎠i +1 2 ⎝ d t ⎠i −1 2                         m                ⎝ 3
⎪
⎪ xi +1 ≈ xi + ⎛⎜ d x ⎞⎟      ⋅ Δt.
⎪⎩              ⎝ d t ⎠i +1 2
       Анализ процесса показывает, что движение тела является колебательным,
 так как при его смещении равнодействующая сил всегда будет направлена к
 положению равновесия, т.е. является возвращающей силой. Кроме того, в этой
 модели интересно отметить два момента: во-первых, скорость, с которой тело
 проходит положение равновесия, не зависит от направления движения и
 является максимальной по величине, и, во-вторых, смещение тела вверх и вниз
 от равновесного положения неодинаково. Докажем оба утверждения для случая
 отсутствия силы сопротивления, когда полная механическая энергия системы
 (тело+жидкость) остается неизменной.
       Поскольку потенциальная энергия тела определяется только его
 положением (т.е. координатой), скорость в каждой точке не зависит от
 направления движения. Поэтому положение равновесия тело проходит всегда с
 одинаковой скоростью, не зависящей от того, смещается ли оно вверх или вниз.
 При этом направление равнодействующей меняется на противоположное, а
 вместе с тем меняется и знак приращения скорости. Например, если тело
 двигалось из крайнего нижнего положения вверх, и скорость его возрастала, т.к.
 равнодействующая была отлична от нуля и направлена вверх, то при
 прохождении положения равновесия равнодействующая изменяет направление,
 и скорость начинает уменьшаться. Следовательно, в момент прохождения
 положения равновесия скорость имеет максимальное значение.
       Рассмотрим теперь вопрос о соотношении максимальных смещений тела
 вверх и вниз от положения равновесия. Обозначим модули этих смещений
 соответственно h1 и h2. В соответствии с законом сохранения механической
 энергии работа, совершаемая равнодействующей сил при движении тела,
 например, из крайней верхней точки до положения равновесия, должна быть
 равна (по модулю) работе, совершаемой при движении тела от равновесного
 положения до крайнего нижнего. Построим график зависимости проекции