Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 64 стр.

64                         Моделирование колебаний тела, погруженного в жидкость


                                 πρ                     πρ
     FA = ρ ж g ⋅ ⋅ (πr 2 )⋅ ho = ж gho ⋅ (ho ⋅ tg α ) = ж ⋅ tg 2 α ⋅ ho3 ⋅ g .
                 1                                    2
                                                                                         (2)
                 3                3                      3
На основании (1) и (2) получим:
                     ρ
       ho = H ⋅ 3      .                                                                 (3)
                    ρж
      Выведем конус из положения равновесия (рис. 2) и отпустим его. При
движении возникает сила сопротивления, направленная противоположно
скорости тела. Уравнение движения
       r r       r r
     ma = FA + mg + Fсопр .
Направим ось Ох вверх, начало отсчета совместим с положением равновесия
(на рис. 2 оно показано в виде горизонтальной пунктирной линии) и введем
обозначения: х – смещение тела от положения равновесия и Vх – объем
погруженной части тела в данный момент времени. Будем считать, что сила
сопротивления прямо пропорциональна скорости тела и площади его
поверхности, соприкасающейся с жидкостью Sx.




                                            Рис. 2.
     К составлению уравнения движения тела: х – смещение тела от положения
     равновесия; hх – глубина погружения в данный момент времени; rх – радиус
     сечения поверхностью жидкости.
        Дифференциальное уравнение движения:
       d2 x                            dx
    m ⋅ 2 = ρж ⋅ g ⋅ Vx − mg − f ⋅         ⋅ Sx ,
       dt                               dt
где f – коэффициент пропорциональности                       в   выражении        для   силы
сопротивления Fсопр x = − f ⋅ υ x ⋅ S x .
        Расписывая Sx и Vx через hx = ho − x по аналогии с (2), получим