Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 94 стр.

94                                        Моделирование свободных электрических колебаний


                                      Лабораторная работа № 2.1.
      МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы:           моделирование свободных электрических колебаний в программе
                       схемотехнического моделирования Electronics Workbench и ЭТ MS
                       Excel.
Оборудование: программа схемотехнического моделирования Electronics Workbench,
              ЭТ MS Excel.
                1. Свободные колебания в электрическом контуре
      Перепишем уравнение колебательного контура для случая свободных
колебаний (E=0 – в контуре не действует других э.д.с., кроме э.д.с.
электромагнитной индукции):
       d2 q      dq q
     L 2 +R         + = 0,
       dt        dt C
где в левой части стоит сумма падений потенциала на различных элементах
контура в каждый момент времени (так называемых мгновенных значений):
     U L + U R + UC = 0 .                                             (*)
          Если затухание мало (β=0), уравнение принимает вид:
        q&& + ωo2 q = 0                                                               (1)
– уравнение свободных незатухающих колебаний. Решением этого уравнения
будет периодическая функция q(t), изменяющаяся по закону синуса или
косинуса. Присутствие в контуре активного сопротивления приводит к
затуханию колебаний. Уравнение затухающих колебаний:
     q&& + 2β ⋅ q& + ωo2 ⋅ q = 0 .                                  (2)
Аналитическим решением (2) является непериодическая функция
        q (t ) = q max ⋅ e −βt ⋅ sin (ωt + ψ o ) .                                   (2а)
      Решение уравнения (2) методом половинного интервала дает следующую
систему:
                                                    Δt
     ⎧
     ⎪ I 1  2 ≈ I o −   (2 β ⋅ I o + ω  2
                                        o ⋅ q o ) ⋅
                                                     2
     ⎪
     ⎨ I i +1 2 ≈ I i −1 2 − (2β ⋅ I i −1 2 + ωo ⋅ qi )⋅ Δt ;
                                                   2
                                                                     (2б)
     ⎪
     ⎪qi +1 ≈ qi + I i +1 2 ⋅ Δt
     ⎩
      Как известно, при большом затухании колебания могут вообще не
возникнуть16. Активное сопротивление контура, при котором наблюдается
апериодический разряд конденсатора, называется критическим. Выражение для
критического сопротивления получается из условия равенства нулю частоты

16
     См. раздел "Механические колебания".