Механика. Щербаченко Л.А. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

90
на Луну будет возвращена примерно
1500
1
стартовой массы ракеты.
Хотя эти значения являются грубой прикидкой, они дают достаточно
хорошую оценку возможностей ракет с химическим топливом.
Задачи.
Теперь мы попытаемся решить несколько практически важных
задач:
1) С поверхности Луны стартует двухступенчатая ракета. При
каком отношении масс первой
(
)
1
m
и второй
(
)
2
m
ступеней скорость
контейнера с полезным грузом (массы т) получится максимальной?
Относительные скорости истечения газов
и
в двигателях обеих
ступеней постоянны и одинаковы. Отношения массы топлива к массе
ступеней равны соответственно
1
α
и
2
α
для первой и второй ступеней.
Отделение ступеней и контейнера производится без сообщения
добавочных импульсов.
Если бы не было притяжения земли, то задача свелась бы к
нахождению оптимального отношения
1
2
m
m
для достижения заданной
скорости ракеты. Поэтому можно отвлечься от действия силы тяжести
считать, что ракета движется в пространстве, свободном от сил тяготения.
Пусть
M
– полная масса ракеты в момент старта. Тогда по условию:
Mmmm =++
21
После выгорания топлива в первой ступени масса ракеты уменьшится
на
11
m
. При этом будет достигнута скорость
1
v :
−
=
11
1
ln
mM
M
u
v
α
Масса
(
)
11
1
α
−m отделяется, и включается двигатель второй ступени.
После выгорания топлива во второй ступени скорость ракеты возрастает ещё
на величину
2
v :
( )
+−
+
=
mm
mm
u
v
22
22
1
ln
α
В этом можно убедиться, если перейти в систему отсчёта, в которой
ракета в момент отделения первой ступени покоилась. Полная скорость,
таким образом, равна:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )( )( )( )
mmmMmMmMMu
mmmmmMMuvvv
+−−−−−+−−=
=+−−++−−=+=
21111
2221121
1lnlnlnln
1lnlnlnln
αα
α
α
Дифференцируя это соотношение по аргументу
1
m (поскольку
const
u
const
m
=
=
,
) и приравнивая его производную к нулю, находим условие
максимума
v
:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                             1
            на Луну будет возвращена примерно                                   стартовой массы ракеты.
                                                                           1500
            Хотя эти значения являются грубой прикидкой, они дают достаточно
            хорошую оценку возможностей ракет с химическим топливом.


                                         Задачи.
                 Теперь мы попытаемся решить несколько практически важных
            задач:
                1) С поверхности Луны стартует двухступенчатая ракета. При
            каком отношении масс первой (m1 ) и второй (m 2 ) ступеней скорость
            контейнера с полезным грузом (массы т) получится максимальной?
            Относительные скорости истечения газов и в двигателях обеих
            ступеней постоянны и одинаковы. Отношения массы топлива к массе
            ступеней равны соответственно α 1 и α 2 для первой и второй ступеней.
            Отделение ступеней и контейнера производится без сообщения
            добавочных импульсов.

                   Если бы не было притяжения земли, то задача свелась бы к
                                                                           m2
            нахождению оптимального отношения                                      для достижения заданной
                                                                           m1
            скорости ракеты. Поэтому можно отвлечься от действия силы тяжести
            считать, что ракета движется в пространстве, свободном от сил тяготения.
                 Пусть M – полная масса ракеты в момент старта. Тогда по условию:
                   m1 + m 2 + m = M
                    После выгорания топлива в первой ступени масса ракеты уменьшится
            на α 1 m1 . При этом будет достигнута скорость v1 :
                   v1          M      
                      = ln           
                   u        M − α 1 1 
                                    m
                   Масса m1 (1 − α 1 ) отделяется, и включается двигатель второй ступени.
            После выгорания топлива во второй ступени скорость ракеты возрастает ещё
            на величину v 2 :
                   v2            m2 + m        
                      = ln                    
                   u        m 2 (1 − α 2 ) + m 
                 В этом можно убедиться, если перейти в систему отсчёта, в которой
            ракета в момент отделения первой ступени покоилась. Полная скорость,
            таким образом, равна:
                   v = v1 + v 2 = u (ln M − ln (M − α 1 m1 ) + ln (m 2 + m ) − ln (m 2 (1 − α 2 ) + m )) =
                   = u (ln M − ln (M − α 1 m1 ) + ln (M − m1 ) − ln ((M − m − m1 )(1 − α 2 ) + m ))
                  Дифференцируя это соотношение по аргументу m1 (поскольку
            m = const , u = const ) и приравнивая его производную к нулю, находим условие
            максимума v :


                                                                                                             90

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы