Механика. Щербаченко Л.А. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

91
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
0
1
1
11
1
1
1
121
2
11
1
121
2121
11
1
21
2
111
1
=
−+−−−
−
−
=
=
−+−−−
−−+−−−−−
+
−
=
=
+−−−
−−
−
−
−
+
−
−
−=
′
mMmmmM
m
mM
mMmmmM
mMmmmM
mM
mmmMmMmMu
v
α
α
α
α
α
αα
α
α
α
α
α
α
Отсюда получаем уравнение относительно
1
m :
(
)
(
)
(
)
01
21121212
2
11
=+−−+−− ααααααα mmMmmMmmM
(
)
(
)
(
)
112212121
2
121121
2
21
1121 mmMmmmmMmmMM ααααααααααααα −=−+−+−−−
(
)
(
)
(
)
(
)
011121
1212
2
21121
2
1
=−+−+−−− αααααααα MmMMmm
0
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
=
−
−
−+−
α
α
α
α
MmMMmm
⇒
−
−
+−±=
2
1
1
2
22
1
1
1
α
α
α
α
MmMMMm
−
−
−=
2
1
1
2
1
1
1
1
α
α
α
α
M
m
Mm , т. к. Mm <
1
Отсюда находим mmMm −−=
12
:
mmMm
M
m
MMm
−
−
−
=−
−
−
−−=
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
α
α
α
α
α
α
α
α
Искомое отношение, таким образом, равно:
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
α
α
α
α
α
α
α
α
−
−
−
−
−
−
⋅=
M
m
M
m
M
m
m
m
Поскольку на практике
1
α
и
2
α
различаются мало, то
21
α
≈ и
1
1
1
2
1
1
2
≈
−
−
α
α
α
α
:
M
m
m
m
=
1
2
Ответ:
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
α
α
α
α
α
α
α
α
−
−
−
−
−
−
⋅=
M
m
M
m
M
m
m
m
или (приближённо)
M
m
m
m
≈
1
2
.
2) В одном из проектов недалёкого будущего предполагается
использовать небольшой реактивный двигатель для поддержания человека в
воздухе на постоянной высоте. Двигатель выбрасывает струю газов
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                       ′
                   v          − α1        −1                 − (1 − α 2 )
                     =−              +           −                              =
                   u       M − α 1 m1 M − m1 (M − m − m1 )(1 − α 2 ) + m
                         α1        − (M − m − m1 )(1 − α 2 ) − m + (M − m1 )(1 − α 2 )
                   =             +                                                     =
                     M − α 1 m1        ((M − m − m1 )(1 − α 2 ) + m)(M − m1 )
                         α1                       mα 2
                   =             −                                        =0
                       M − α 1 m1 ((M − m − m1 )(1 − α 2 ) + m )(M − m1 )
                   Отсюда получаем уравнение относительно m1 :
                   α 1 (M − m1 ) (1 − α 2 ) + α 1 mα 2 (M − m1 ) − Mmα 2 + α 1 m1 mα 2 = 0
                                  2


                   α 1 (1 − α 2 )M 2 − 2 Mα 1 (1 − α 2 )m1 + α 1 (1 − α 2 )m12 + α 1α 2 mM − α 1α 2 mm1 = mα 2 M − mα 2α 1 m1

                   m12α 1 (1 − α 2 ) − 2m1 Mα 1 (1 − α 2 ) + M 2 (1 − α 2 )α 1 + Mmα 2 (α 1 − 1) = 0
                                                 α 1 − α1
                   m12 − 2m1 M + M 2 − Mm 2                   =0
                                                 α1 1 − α 2
                                                       α 2 1 − α1
                   m1 = M ± M 2 − M 2 + Mm                        ⇒
                                                       α1 1 − α 2
                                       
                                      m α 2 1 − α1
                   m1 = M 1 −           , т. к. m1 < M
                                       
                                      M α1 1 − α 2
                                       
                   Отсюда находим m 2 = M − m1 − m :
                                          m α 2 1 − α1             α 1 − α1
                   m 2 = M − M 1 −                         − m = mM 2          −m
                                          M α1 1 − α 2             α   1 − α
                                                                     1       2

                   Искомое отношение, таким образом, равно:
                                      α 2 1 − α1      m
                                                 −
                   m2       m         α1 1 − α 2      M
                      =       ⋅
                   m1       M            m α 2 1 − α1
                                  1−
                                         M α1 1 − α 2
                   Поскольку на практике α1 и α 2 различаются мало, то α 1 ≈ α 2 и
              α 2 1 − α1
                         ≈ 1:
              α1 1 − α 2
                   m2       m
                      =
                   m1       M
                                               α 2 1 − α1      m
                                                          −
                             m2         m      α1 1 − α 2      M                                  m2     m
                   Ответ:       =         ⋅                         или (приближённо)                ≈     .
                             m1         M            m α 2 1 − α1                                 m1     M
                                              1−
                                                     M α1 1 − α 2

                2) В одном из проектов недалёкого будущего предполагается
            использовать небольшой реактивный двигатель для поддержания человека в
            воздухе на постоянной высоте. Двигатель выбрасывает струю газов


                                                                                                                    91

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы