Механика. Щербаченко Л.А. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

93
o
o
u
g
mmm
m
e
++
−=
−
21
1
τ
o
u
g
mmm
mm
e
++
+
=
−
21
21
τ
⇒
+
+=
21
1ln
mm
m
u
g
o
τ
c
mm
m
g
u
o
251ln
21
=
+
+=τ
Расстояние же l равно мvl 125
=
=
τ
.
Ответ: с25
=
τ
, мl 125
=
.
3) На сколько процентов уменьшится масса ракеты, которая в течение
10 мин поднималась с поверхности Земли вертикально вверх с постоянной
скоростью
с
км
v 5= ? Скорость истечения продуктов сгорания относительно
ракеты
с
км
u 2= . Радиус Земли кмR
з
6400= . Трением о воздух пренебречь.
Через время c600
τ
ракета поднимется на высоту кмvh 3000
max
==
τ
, где
сила тяжести уже заметно меньше, чем на поверхности. Таким образом, при
расчёте движения ракеты мы обязательно должны учесть изменение силы
тяжести с высотой (одна из проблем космонавтики):
( ) ( )
2
2
2
2
)(
vtR
R
g
hR
R
ghg
з
з
з
з
+
=
+
=
Запишем уравнение движения ракеты, учитывая, что её ускорение
равно нулю:
( )
2
2
0
vtR
R
mgu
з
з
+
−⋅= µ ,
где
dt
dm
−=µ .
Тогда:
( )
⇒
+
=−
2
2
vtR
R
mgu
dt
dm
з
з
Разделяя переменные получим:
22
2
1
+
=−
t
v
R
v
R
u
gdt
m
dm
з
з
Интегрируя обе части и определяя постоянную, находим закон
изменения массы со временем:
⇒
⋅+
−=+−
+
−=+−
0
ln
ln
2
2
2
2
vR
v
v
R
u
g
Cm
vtR
v
v
R
u
g
Cm
з
з
o
з
з
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                           gτ
                       −                    mo
                   e       u
                                = 1−
                                       m1 + m2 + mo
                           gτ
                       −              m1 + m2
                   e       u
                                =
                                    m1 + m2 + mo
                    gτ          mo   
                       = ln1 +       ⇒
                    u        m1 + m2  
                      u        mo 
                   τ = ln1 +           = 25c
                      g  m1 + m2 
                   Расстояние же l равно l = vτ = 125 м .
                   Ответ: τ = 25с , l = 125 м .

                3) На сколько процентов уменьшится масса ракеты, которая в течение
            10 мин поднималась с поверхности Земли вертикально вверх с постоянной
                                          км
            скоростью v = 5                  ? Скорость истечения продуктов сгорания относительно
                                           с
                         км
            ракеты u = 2    . Радиус Земли R з = 6400км . Трением о воздух пренебречь.
                          с
                   Через время τ = 600c ракета поднимется на высоту hmax = vτ = 3000км , где
            сила тяжести уже заметно меньше, чем на поверхности. Таким образом, при
            расчёте движения ракеты мы обязательно должны учесть изменение силы
            тяжести с высотой (одна из проблем космонавтики):
                                          Rз2             Rз2
                   g (h) = g                      = g
                                       (Rз + h )2     (Rз + vt )2
                 Запишем уравнение движения ракеты, учитывая, что её ускорение
            равно нулю:
                                       Rз2
                   0 = µ ⋅ u − mg              ,
                                   (Rз + vt )2
                               dm
                   где µ = − .
                                dt
                   Тогда:
                     dm            R з2
                   −    u = mg             ⇒
                     dt        (Rз + vt )2
                   Разделяя переменные получим:
                           dm gdt R з2     1
                   −          =    2            2
                            m   u v  Rз      
                                          + t
                                        v    
                 Интегрируя обе части и определяя постоянную, находим закон
            изменения массы со временем:
                                    g R з2   v
                    − ln m  + C = −
                                    u v R з + vt
                                        2

                                           2
                                                       ⇒
                   − ln m + C = − g R з        v
                           o
                                      u v 2 Rз + v ⋅ 0
                   
                                                                                               93

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы