Механика. Щербаченко Л.А. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

95
Оно полностью аналогично уравнению (6) с релятивистской массой
2
2
1
c
v
M
M
−
′
=
. Однако в (15) разность
vu
r
r
−
не равна скорости истечения
газов относительно ракеты, потому что в релятивистском случае для
сложения скоростей надо использовать формулу
2
1
c
vu
vu
u
x
x
x
−
−
=
′
.
.
Зависимость конечной массы от скорости.
Для получения в релятивистском случае формулы, аналогичной
формуле Циолковского, необходимо решить уравнение (15). Будем считать,
что ускорение происходит в положительном направлении оси X, тогда
уравнение (15) приобретает вид:
( )
−
′
⋅−=
−
′
2
2
2
2
11
c
v
M
dt
d
vu
dt
dv
c
v
M
x
(16)
По формуле сложения скоростей для скорости выбрасываемых газов
относительно ракеты имеем:
2
1
c
vu
vu
u
x
x
x
−
−
=
′
(17)
Далее учтем, что:
dt
dv
c
v
v
c
M
dt
Md
c
v
c
v
M
dt
d
2
3
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
−
′
+
′
−
=
−
′
(18)
После подстановки (18) в правую часть (16) и простых
преобразований получаем:
( )
dt
Md
vu
dt
dv
c
vu
c
v
M
x
x
′
−=
−
−
′
2
2
2
1
1
(19)
Теперь, заменив величину vu
x
− по формуле (17) через скорость
x
u
, по-
лучим после сокращения на общий множитель
−
2
1
c
vu
x
релятивистское
уравнение движения в следующем простом виде:
dt
Md
u
c
v
dt
dv
M
x
′
′
−=
′
2
2
1 (20)
Примем во внимание, что для ускорения ракеты скорость выброса
газов должна быть направлена против скорости движения ракеты, т. е.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                   Оно полностью аналогично уравнению (6) с релятивистской массой
                    M′                                                r            r
             M=              . Однако в (15) разность u − v не равна скорости истечения
                        v2
                   1−
                        c2
            газов относительно ракеты, потому что в релятивистском случае для
                                                                                             ux − v
            сложения скоростей надо использовать формулу u ′x =                                     .
                                                                                                uxv
                                                                                             1− 2
                                                                                                c
                   .
                             Зависимость конечной массы от скорости.
                 Для получения в релятивистском случае формулы, аналогичной
            формуле Циолковского, необходимо решить уравнение (15). Будем считать,
            что ускорение происходит в положительном направлении оси X, тогда
            уравнение (15) приобретает вид:
                                                             
                                                             
                        M ′ dv                 d  M′ 
                                 = (u x − v ) ⋅                                                               (16)
                                                           2 
                          v 2 dt               dt
                                                   1 − v 2 
                       1− 2
                          c                             c 
                 По формуле сложения скоростей для скорости выбрасываемых газов
            относительно ракеты имеем:
                             ux − v
                   u ′x =                                                                                      (17)
                                u v
                            1 − x2
                                c
                   Далее учтем, что:
                              
                              
                   d  M′           1     dM ′ M ′      v                         dv
                               =             + 2                             3
                                                                                                               (18)
                   dt      v2        v 2 dt   c                                  dt
                          −          −               v2                      2
                       1    2 
                                   1                1 − 2               
                           c           2
                                       c
                                                      c                   
                 После подстановки                       (18)     в   правую            часть    (16)   и   простых
            преобразований получаем:
                    M ′  vu x  dv                  dM ′
                          1 −         = (u x − v )                                    (19)
                      v2      c 2  dt               dt
                   1− 2
                      c
                   Теперь, заменив величину u x − v по формуле (17) через скорость u ′x , по-
                                                                                             vu x 
            лучим после сокращения на общий множитель 1 −                                          релятивистское
                                                                                              c2 
            уравнение движения в следующем простом виде:
                         dv  v 2  dM ′
                   M′      = 1 − u ′x                                                                        (20)
                         dt  c 2    dt
                 Примем во внимание, что для ускорения ракеты скорость выброса
            газов должна быть направлена против скорости движения ракеты, т. е.

                                                                                                                 95

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы