Механика. Щербаченко Л.А. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

96
uu
x
′
−=
′
, где и' – модуль этой скорости. Теперь можно переписать (20) в
аналогичном уравнению (10) виде:
2
2
1
1
c
v
dv
uM
Md
−
′
−=
′
′
(21)
Пусть в начальный момент масса ракеты была
o
M
′
, а скорость –
o
v .
Как и в (10), проинтегрируем левую и правую части этого равенства в соот-
ветствующих пределах. Интеграл в правой части по
v
с учетом того, что:
+
+
−
=
−
c
v
c
v
c
v
1
1
1
1
2
1
1
1
2
2
,
является элементарным. В результате интегрирования получим:
−
+
−
−
+
′
−=
−−
+
′
−=
′
−
′
c
v
c
v
c
v
c
v
u
c
c
v
c
v
u
c
MM
o
o
v
v
o
o
1
1
ln
1
1
ln
2
1ln1ln
2
lnln
Отсюда следует, что:
+
−
−
+
′
−=
′
′
c
v
c
v
c
v
c
v
u
c
M
M
o
o
o
11
11
ln
2
ln
,
или:
u
c
o
o
o
c
v
c
v
c
v
c
v
M
M
′
−
+
−
−
+
=
′
′
2
11
11
(22)
Эта формула для релятивистского случая заменяет формулы (12) для
нерелятивистских ракет. Особенно простой вид, пригодный для анализа, она
приобретает для 0=
o
v , т. е. когда разгон ракеты начинается из состояния
покоя:
u
c
o
c
v
c
v
MM
′
+
−
′
=
′
2
1
1
(23)
В случае малых конечных скоростей
)
cv << эта формула переходит в
(12б) для нерелятивистского случая (при 0=
o
v ). В самом деле, перепишем
правую часть (23) при 1<<
c
v
и 1<<
′
c
u
в виде:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
            u ′x = −u ′ , где и' – модуль этой скорости. Теперь можно переписать (20) в
            аналогичном уравнению (10) виде:
                   dM ′    1     dv
                        =−                                                                                            (21)
                    M′     u′     v2
                                1− 2
                                  c
                 Пусть в начальный момент масса ракеты была M o′ , а скорость – v o .
            Как и в (10), проинтегрируем левую и правую части этого равенства в соот-
            ветствующих пределах. Интеграл в правой части по v с учетом того, что:
                                      
                                      
                     1    1 1       1 
                        =         +      ,
                      v2 2     v     v
                   1− 2    1 −     1+ 
                      c        c     c
                   является элементарным. В результате интегрирования получим:
                                                                                              v           vo   
                                                                            v
                                                                                           1+        1+        
                                           c        v      v                  c         c            c
                   ln M ′ − ln M o′ = −        ln1 +  − ln1 −             =−      ln      − ln            
                                          2u ′      c      c  vo             2u ′       v           vo    
                                                                                            1−        1−
                                                                                             c           c     
                   Отсюда следует, что:
                                        v                      vo   
                                     1 + 1 −                        
                      M′       c        c                       c   ,
                   ln      =−     ln
                      M o′    2u ′  v                          vo   
                                     1 − 1 +                        
                                      c                         c   
                   или:
                                                            c
                                                       −
                                v  v o               2u ′
                         1 +      1 −       
                   M ′          c     c     
                       =                                                                                            (22)
                   M o′         v     vo    
                           1 −     1 +       
                               c     c      
                 Эта формула для релятивистского случая заменяет формулы (12) для
            нерелятивистских ракет. Особенно простой вид, пригодный для анализа, она
            приобретает для vo = 0 , т. е. когда разгон ракеты начинается из состояния
            покоя:
                                          c
                                    v  2u′
                              1 −     
                   M ′ = M o′       c                                                                               (23)
                                    v
                              1 +     
                                    c
                  В случае малых конечных скоростей (v << c ) эта формула переходит в
            (12б) для нерелятивистского случая (при vo = 0 ). В самом деле, перепишем
                                               v        u′
            правую часть (23) при                << 1 и    << 1 в виде:
                                               c        c




                                                                                                                        96

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы