Механика. Щербаченко Л.А. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

92
вертикально вниз со скоростью относительно человека
с
м
u 1000= . Расход
топлива автоматически поддерживается таким, чтобы в любой момент, пока
работает двигатель, реактивная сила уравновешивала вес человека с грузом.
Сколько времени человек может продержаться на постоянной высоте, если
его масса кгm 70
1
= , масса двигателя без топлива кгm 10
2
= , начальная масса
топлива кгm
o
20= ? Какое расстояние l в горизонтальном направлении может
преодолеть человек, если он разбежался по земле, приобрёл горизонтальную
скорость
с
м
v 5= , а затем подпрыгнул и включил двигатель,
поддерживающий его в воздухе на постоянной высоте?
Рассмотрим силы, действующие на человека в момент времени t.
Реактивная сила равна uF
реак
r
r
µ−= и направлена вверх; сила тяжести
равна gmF
тяж
r
r
= и направлена вниз. В силу условия задачи 0
r
r
r
=+
реактяж
FF :
gdtmmmum
t
o
−++−=⋅
∫
0
21
0
µµ
( )
∫
+=++
t
o
dtgugmmm
0
21
µµ
Дифференцируя это выражение, получаем:
⇒
dtgud
µ
µ
u
gdtd
−=
µ
µ
Интегрируя полученное соотношение, находим связь между
µ
и
t
:
u
gt
C −=+µln
Исходя из начальных условий, при 0
=
t
o
µ
µ
= , причём:
(
)
ugmmm
oo
µ
=++
21
Отсюда следует, что расход топлива меняется со временем по закону:
u
gt
o
−=
µ
µ
ln
(
)
u
gt
o
e
u
gmmm
−
++
=
21
µ
Теперь, чтобы определить зависимость массы оставшегося топлива от
времени, необходимо вычислить:
∫
=∆
t
dtm
0
µ
Топливо закончится через время
τ
, определяемое условием:
⇒
−
−
++
=
−
1
22
u
g
o
o
e
g
u
g
u
mmm
m
τ
o
o
u
g
mmm
m
e
++
−=
−
21
1
τ
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                                               м
            вертикально вниз со скоростью относительно человека u = 1000                         . Расход
                                                                                               с
            топлива автоматически поддерживается таким, чтобы в любой момент, пока
            работает двигатель, реактивная сила уравновешивала вес человека с грузом.
            Сколько времени человек может продержаться на постоянной высоте, если
            его масса m1 = 70кг , масса двигателя без топлива m 2 = 10кг , начальная масса
            топлива mo = 20кг ? Какое расстояние l в горизонтальном направлении может
            преодолеть человек, если он разбежался по земле, приобрёл горизонтальную
                                            м
            скорость                  v=5     ,     а      затем    подпрыгнул   и   включил   двигатель,
                                            с
            поддерживающий его в воздухе на постоянной высоте?
                  Рассмотрим силы, действующие на человека в момент времени t.
                                       r        r
            Реактивная сила равна Fреак = − µu и направлена вверх; сила тяжести
                  r       r                                          r      r       r
            равна Fтяж = mg и направлена вниз. В силу условия задачи Fтяж + Fреак = 0 :
                                                t
                                                        
                   m ⋅ 0 = µu −  m1 + m2 + mo − ∫ µdt  g
                                
                                                0      
                                                           t
                   (m1 + m2 + mo )g = µu + g ∫ µdt
                                                           0

                   Дифференцируя это выражение, получаем:
                   dµ ⋅ u = − gµdt ⇒
                   dµ       gdt
                       =−
                    µ        u
                   Интегрируя полученное соотношение, находим связь между µ и t :
                                         gt
                   ln µ + C = −
                                         u
                   Исходя из начальных условий, при t = 0 µ = µ o , причём:
                   (m1 + m2 + mo )g = µ o u
                   Отсюда следует, что расход топлива меняется со временем по закону:
                           µ     gt
                   ln         =−
                           µo    u

                   µ=
                                (m1 + m2 + mo )g e − gtu
                                        u
                 Теперь, чтобы определить зависимость массы оставшегося топлива от
            времени, необходимо вычислить:
                                  t
                   ∆m = ∫ µdt
                                  0

                   Топливо закончится через время τ , определяемое условием:
                                                      u  − u    
                                                              gτ
                       m + m2 + mo
                   mo = 2                         g  −  e − 1 ⇒
                                                           
                           u                          g         
                           gτ
                       −                    mo
                   e       u
                                = 1−
                                       m1 + m2 + mo


                                                                                                       92

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы