Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Функция
не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби
обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке.
Однако, можно найти предел этой функции при
х→0.
Приведем доказательство записанной формулы. Рассмотрим окружность радиуса 1 и
предположим, что угол α, выраженный в радианах, заключен в пределах 0 < α < π/2. (Так
как
четная функция и ее значения не изменяются при
изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α > 0.)
Из рисунка видно, что
S
ΔOAC
<S
сект.OAC
<S
ΔOBC
.
Так как указанные площади соответственно равны
S
ΔOAC
=0,5·OC·OA·sinα=0,5sinα,S
сект.OAC
=0,5·OC
2
·α=0,5α,S
ΔOBC
=0,5
·
OC·BC=0,5tgα.
Следовательно,
sin α < α < tg α.
Разделим все члены неравенства на sin α > 0:
.
Но
. Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем, что
.
Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.
Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия
неопределенности
. Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами
.
Примеры.
1.
. 
   ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ




   Функция       не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби
обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке.
   Однако, можно найти предел этой функции при х→0.


   Приведем доказательство записанной формулы. Рассмотрим окружность радиуса 1 и
предположим, что угол α, выраженный в радианах, заключен в пределах 0 < α < π/2. (Так

как      четная функция и ее значения не изменяются при
изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α > 0.)
Из рисунка видно, что
                        SΔOAC  0:

                                                                .

   Но              . Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем, что

          .
   Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.
   Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия

неопределенности    . Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами

                         .
   Примеры.



     1.                                      .

Страницы