ВУЗ:
Составители:
7
Ортогональные преобразования
7.1 Ортогональные матрицы и приложения
В этом разделе напомним определение и некоторые свойс тв а ортогональ-
ных матриц, полезные для дальнейшего.
Определение 7.1. Матрица T , имеюшая размер (n × n), т. е. T (n, n),
есть ортогональная м ат р ица, когда T T
T
= I.
Свойство A. Если T
1
и T
1
суть две ортогональные м а т рицы, то их
произведение T
1
T
2
есть тоже о ртогональная матрица.
Свойство B. T
−1
= T
T
и T
T
T = I.
Свойство C. Ортогональное преобразование сохраняет скалярное про-
изведение векторов, т. е. ∀x, y ∈ R
n
: y
T
x , (x, y) = (T x, T y), в частности,
оно сохраняет (евклидову) норму ве ктора: kT yk = kyk.
Свойство D. Если v есть вектор случайных переменных с математиче-
ским ожиданием E {v} = 0 и ковариацией E
vv
T
= I, то теми же харак-
теристиками обладает вектор ¯v = T v, т. е.
E {¯v} = 0, E
¯v¯v
T
= I.
Хотя это свойство легко проверяется, немного удивительно, что компо-
ненты преобразованного вектора остаются взаимно некоррелированными.
Свойства C и D играют существенную роль в квадратно-корневых алго-
ритмах решения прикладных задач оптимального моделирования и опти-
мального оценивания методом наименьших квадратов (рис. 7.1).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- …
- следующая ›
- последняя »
