Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7.4 Преобразование Хаусхолдера
Приведение критерия наименьших квадратов к виду (7.9) позволяет
заключить, что искомый вектор ˆx, минимизирующий этот критерий, дол-
жен удовлетворять уравнению
Rˆx = z
1
, (7.10)
которое легко решается обратной подстановкой (см. подразд. 7.6), и кроме
того,
min J(x) = J(ˆx) = kz
2
k
2
. (7.11)
В вычислительном отношении эти результаты гораздо более элегантны,
чем неразумная трата сил на решение нормальных уравнений (7.3). Однако
важнее всего то, что решение, использующее ортогональные преобразования
(соотношения (7.7), (7.8), (7.10) и (7.11 )), менее чувствительны к пог решно-
стям, вызванным ошибками округления в компьютере. Это видно хотя бы
из того, что выражение (7.7) влечет равенство
R
T
R = (T A)
T
(T A) = A
T
A,
которое означает, что R является квадратным корнем из матрицы ( A
T
A)
системы нормальных уравнений (7.3). Следовательно, при решении систем ы
(7.10) вдвое более эффективно используется разрядная сетка компьютера,
чем при решении системы (7.3)
1
.
7.4 Преобразование Хаусхолдера
Преобразования Хаусхолдера суть матричные представления, кот о рые
соответствуют геометрическому понятию отражения [97, 15]. Пусть задан
некоторый ненулевой вектор u, который мы называем направляющим век-
тором. Подпространство, ортогональное ему, есть гиперплоскость U
⊥
. Если
взять произвольный вектор y, то можно отразить его от U
⊥
, в точности
соблюдая законы обычного оптического отражения от плоского зеркала
(рис. 7.2).
Обозначим отраженный вектор y
r
. По скольку положение гиперплоскости
U
⊥
не зависит от длины направляющего вектора, пронормируем его, т. е .
образуем орт ˆu = u/kuk. Проекция (y
u) вектора y на прямую, задаваемую
направлением u, равна (y
T
ˆu)ˆu. Следовательно,
y = (y
u) + v, v ⊥ u, v ∈ U
⊥
. (7.12)
1
Представление в компьютере квадрата a
2
любого действительного числа a требует удвоенной раз-
рядности мантиссы, т.е. счет по уравнению (7.10) равносилен счету с удвоенной разрядностью мантиссы
чисел по уравнению (7.3).
111

Страницы