ВУЗ:
Составители:
7 Ортогональные преобразования
U
⊥
y
r
− y
y
r
v
y
(y
u)
u
−(y
u)
0
Рис. 7.2. Геометрия преобразования Хаусхолдера. Задача 1 (прямая): даны векторы
u и y, найти вектор y
r
, отраженный о т гиперплоскости U
⊥
Отраженный вектор y
r
, как видно из рис. 7.2, имеет разложение
y
r
= −(y
u) + v, v ⊥ u, v ∈ U
⊥
(7.13)
с т ой же составляющей v, которая ортогональна вектору u, но с проекцией
−(y
u), которая (в силу знака −) направлена противоположно проекции
(y
ˆu) вектора y на направление u . Исключая v из (7.12) и (7.13), находим
y
r
= y −2(y
u) = (I − βuu
T
)y = T
u
y, (7.14)
где β , 2/ kuk
2
= 2/u
T
u. Матрица Хаусхолдера T
u
, (I − βuu
T
), в вычис-
лениях явно не участвующая, име ет фундаментальное значение для прило-
жений в силу своих замечательных свойс т в .
Свойство 1. T
u
= T
T
u
, т. е. T
u
— симметр ичес кая матрица.
Свойство 2. T
2
u
= I, т. е. T
u
— идемпотентная матрица. Это легко
продемострировать алгебраически разложением матрицы T
2
u
или же геомет-
рически по рис. 7.2 как двукратное отражение вектора y относительно U
⊥
.
Свойство 3. Если u(j) = 0, то (T
u
y)(j) = y(j), т.е. если j-я компонента
вектора u — нулевая, то T
u
оставляет j-ю компоненту вектора y неизменной.
Свойство 4. Если u ⊥ y, то T
u
y = y.
Свойство 5.
T
u
y = y − γu, γ , 2y
T
u/u
T
u = βy
T
u. (7.15)
112
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- …
- следующая ›
- последняя »
