Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7 Ортогональные преобразования
e
2
U
⊥
e
1
0
y
r
a
r
a
y
u
Рис. 7.3. Геометрия преобразования Хаусхолдера. Задача 2 (обратная): даны векторы
y и y
r
, найти вектор u, задающий отражающую гиперплоскость U
⊥
; здесь y
r
= se
1
=
=
s
0 ···0
T
Лемма 7.1. Пусть дана матрица A(m, n). Тогда существует ортого-
нальное преобразование Хаусхолдера T
u
такое, что
T
u
A =
1
z}|{
n−1
z
}|{
1{
s
0
˜
A
.
m−1
(7.18)
Замечание 7.3. Скаляр s и матрица
˜
A в (7.18) вычисляются непо-
средственно по данным в матрице A; s — по выражению (7.16) и свойству 6,
а
˜
A — по свойству 5, (7.15). Первый столбец, который уместно назвать
ведущим столбцом в преобразовании Хаусхолдера, используют как вектор y
в задаче 2 (см. рис. 7.3) для определения вектора u. Второй и далее столбцы,
обозначенные на рис. 7.3 произвольно как вектор a, от ражают от найденной
таким образом гиперплоскости U
⊥
, решая для этого з а дачу 1 (см. рис. 7.2)
с y := a и тем с а м ым получая блок
˜
A.
Теорема 7.1 (Триангуляризация матрицы по методу Хаусхолдера).
Пусть A
1
:= A(m, n) и для каждого j выбрано элементарное преобразование
Хаусхолдера T
j
так, что
T
j
A
j
=
1
z}|{
n−j
z
}| {
1{
s
j
a
T
j
0
A
j+1
,
m−j
j = 1, . . . , k; k ≤ min (m −1, n). (7.19)
114

Страницы