Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7 Ортогональные преобразования
7.5 Шаг триангуляризации матрицы методом Х аусхол-
дера
Пусть матрица A = A(m, n) задана. Тогда, с о гласно лемме 7.1, базовая
операция процесса триангуляризации заключается в вычислении скаляра s
и матрицы
˜
A =
˜
A(m, n − 1) таких, что
T
u
A =
1
z}|{
n−1
z
}|{
1{
s
0
˜
A
.
m−1
(7.22)
Алгоритм. Для вычисления s следует применять свойство 6 (см.
стр. 113), т. е. выполнять (7.23) для всех k = 1 до min (m − 1, n). Затем
для вычисления
˜
A следует применять свойство 5 (см. стр. 112), т. е. после-
довательно в цикле по j = 2, . . . , n для всех i = k, . . . , m выполнять (7.24).
Здесь λ , −γ (см. (7.15)), α , −β (см. (7.14) и использовано свойство 6).
Для k = 1 до min (m − 1, n)
s
k
= −sgn [A(k, k)]
m
X
i=k
[A(i, k)]
2
!
1/2
,
u
k
(1) = A(k, k) − s
k
,
u
k
(i) = A(k + i − 1 , k), i = 2, . . . , m −k + 1,
α
k
= 1/(s
k
u
k
(1)) (α
k
< 0).
(7.23)
Для j = k + 1, . . . , n
λ := α
k
·
m
X
i=k
u
k
(i − k + 1)A (i, j),
Для i = k, k + 1, . . . , m
A(i, j) := A(i, j) + λu
k
(i − k + 1).
(7.24)
Приведенный алгоритм (7.23), (7.24) называют столбцово ориентирован-
ным алгоритмом Хаусхолдера, так ка к операции (7.2 4 ) вычисляют целиком
каждый j-й столбец матрицы, находящийся справа от ведущего, т. е. k-го
столбца. Альтернативная схема вычислений называется строчно ориенти-
рованным алгоритмом Хаусхолдера. Ее можно получить из выражения T
u
=
= I − βuu
T
для матрицы Хаусхолдера следующим образом.
116

Страницы