Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7.6 Решение треугольной системы и обращение матриц
Введем вспомогательные обозначения: µ ,
√
β, w , µu, чтобы запи-
сать T
u
= I − ww
T
. Тогда (T
u
A) = A − wz
T
, где z
T
, w
T
A = µv
T
,
v
T
,
P
m
i=1
u(i)A(i , ·) и A(i, ·) есть i-я строка матрицы A = A(m, n). Вве-
дем обозначение λ
T
= αv
T
, используя ранее введенное (с м . (7.23)) α , −β.
Отсюда получаем формулу для любой i-й строки (T
u
A)(i, ·) преобразованной
матрицы (T
u
A) в виде
(T
u
A)(i, ·) = A(i, ·) − w(i)z
T
= A(i, ·) −µ
2
u(i)v
T
= A(i, ·) + λ
T
u(i).
Алгоритм (строчно ориентированный), эквивалентный (7.23) и (7.24).
Для k = 1 до min (m −1, n)
s
k
= −sgn [A(k, k)]
m
X
i=k
[A(i, k)]
2
!
1/2
,
u
k
(1) = A(k, k) −s
k
,
u
k
(i) = A(k + i − 1, k) , i = 2, . . . , m − k + 1,
α
k
= 1/( s
k
u
k
(1)) (α
k
< 0).
(7.25)
Для j = k + 1, . . . , n
λ
k
(j − k) := α
k
·
m
X
i=k
u
k
(i −k + 1)A(i, j) ,
Для i = k, k + 1, . . . , m
Для j = k + 1, . . . ,n
A(i, j) := A(i, j) + λ
k
(j − k)u
k
(i − k + 1).
(7.26)
7.6 Решение треугольной системы и обращение матриц
Как о т м ечено в подразд. 7.3, мы часто заинтересованы в решении урав-
нения
Rx = z, (7.27)
где R = R(n, n) — верхняя треугольная не в ырожденная матрица. Если
нужно иметь только решение x, то R
−1
(для x = R
−1
z) вычислять не надо.
Следующий алгоритм обратной подстановки позволяет вычислить решение
x непосредстве нно.
117

Страницы