Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7.6 Решение треугольной системы и обращение матриц
Обращение верхней треугольной матрицы: U := R
−1
. Реализу-
ются формулы (7.31), (7.32) и (7.33). Если нужно, U может замещат ь R [15].
R(N, N), U(N, N), R и U — верхние треугольные матрицы
U(1, 1) = 1./R(1, 1)
DO 20 J = 2, N
U(J, J) = 1./R(J, J)
JM1 = J − 1
DO 20 K = 1, JM1
SUM = 0.
DO 10 I = K, JM1
10 SUM = SUM − U(K, I) ∗ R(I, J)
20 U( K, J) = SUM ∗ U(J, J)
В случаях, когда важно или нужно экономить память компьютера, мат-
рицы в программе объявляют как одномерные массивы (см. подразд. 6.3).
Хотя в ком пьютере даже мног о м ерно объявленные мас сивы всегда хранятся
как одномерные, ком пилятор генерирует индексные выражения с операци-
ями умножения и деления. Операции сложения и в ычитания в компьютерах
выполняются гораздо быстрее, поэтому индексы для доступа к элементам
матриц следует программировать в рекуррентной инкреме нтной форме, эко-
номя таким образом время процессора (табл. 7.1). В этой программе преобра-
зование в треугольную форму выполняется отождествлением J(J −1)/1 + I
с (I, J). Рекуррентное инкрементное в ычисление KK, JJ и KK экономит
вычисления.
Как отмечалось на с. 11 8 , иногда требуется вычислять R
−1
. Такая ситу-
ация появляется, если требуется найти A
−1
, для которой уже выполнено
преобразование T A = R, где T = T
(n−1)
по формуле (7.21), так как в тео-
реме 7.1 для этого случая m = n и A
−1
= R
−1
T . П о следнее означает, что то
же самое ортогональное преобразование T теперь надо применить к стро-
кам матрицы R
−1
, но уже в обратном порядке следования элементарных
преобразований, составляющих полное преобразование T = T
(n−1)
по фор-
муле (7.21). Таким образом, возникает проблема запоминания элементарных
преобразований, составляющих полное преобразование T = T
(n−1)
, чтобы
позже м ожно было его применить в задаче отыскания A
−1
или же для реше-
ния уравнения Ax = z с невырожденной матрицей A после преобразования
T A = R.
119

Страницы