Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7 Ортогональные преобразования
Таблица 7.1. Эффективное обращение верхней треугольной матрицы U := R
−1
.
R(N, N), U(N, N), R и U — верхнетреугольные матрицы.
U(1) = 1./R(1)
c
R(1) ≡ R(1, 1)
JJ = 1
DO 20 J = 2, N
JJ = JJ
c
JJ = J(J − 1)/2 = (J −
− 1, J −1)
JJ = JJ + J
c
JJ = J(J + 1)/2 = (J, J)
U(JJ) = 1./R(JJ)
JM1 = J − 1
KK = 0
DO 20 K = 1, JM1
KK = KK + K
c
KK = K(K + 1)/2
KI = KK
SUM = 0.
DO 10 I = K, JM1
SUM = SUM − U(KI) ∗ R(
JJ + I)
c
KI = (K, I), JJ + 1 =
= (I, J)
10 KI = KI + I
c
KI = (K, I + 1)
20 U(JJ + K) = SUM ∗ U(JJ)
c
JJ + K = (K, J)
Реализуются формулы (7.31), (7.32) и (7.33). Верхние треугольные матрицы R и U
хранятся как векторы размерности N(N + 1)/2. Если нужно, U может замещать R.
Как видно из (7.24), для отражения вектора y = T
(k)
z от гиперплос-
ко сти U
⊥
, заданной вектором u , требуется иметь сохраненными две вели-
чины: вектор u и скаляр α. Поскольку нули ниже диагонали, получающиеся
в результате триангуляризации, хранить не нужно, это место можно отвести
для сохранения вектора u (вместе с диаго налью, поэтому диагональные эле-
менты s
k
приходится хранить отде льно). Данное предложение схематически
показано на рис. 7.5 (вверху). Каким образом можно выполнить вычисление
матрицы A
−1
, показано на рис. 7.5 (внизу) на конкретном примере размер-
ностей, а именно: m = 4, n = 4.
7.7 Преобразование Гивенса
Преобразование Гивенса осуществляет вращение вектора в плоскости
двух координат. Очевидно, поворот вектора y = (y
1
y
2
)
T
на угол θ по
часовой стрелке эквивалентен повороту систе м ы координат против часовой
стрелки на тот же угол.
120

Страницы