Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7 Ортогональные преобразования
y
θ
e
1
e
2
0
e
0
1
e
0
2
Рис. 7.6. Геометрия вращений
Триангуляризация матрицы преобразованиями Гивенса. Выбор θ
такой, что вторая координата вектора y
r
становится равной нулю, исполь-
зуем для триангуляризации матрицы A(m, n). На первом шаге нужны преоб-
разования, де лающие равными нулю все эле м енты ниже первого диагональ-
ного элемента. Для этого, очевидно, нужно выполнить последовательно эле-
ментарные вращения P
1,2
, P
1,3
, . . . , P
1,m
. Так опреде ле нные преобразования
воздействуют на все столбцы матрицы, но то лько первый столбец, который
уместно назвать ведущим столбцом в преобразовании Гивенса, приобретает
желаемый вид.
Лемма 7.2. Пусть дана матрица A(m, n) и y — ее ведущий (левый)
столбец. Тогда сущес т в ует ортогональное преобразование Гивенса, з а дава е-
мое матрицей P
1
= P
1
(m, m), такое, что
P
1
A =
1
z}|{
n−1
z
}|{
1{
r
0
˜
A
,
m−1
(7.34)
P
1
= P
1,m
···P
1,3
P
1,2
,
и матрицы P
1,j
определяются по алгоритму на рис. 7.7.
Теорема 7.2 (Триангуляризация матрицы по методу Гивенса).
Пусть A
1
:= A(m, n) и для каждого j = 1, 2, . . . , k, k ≤ min (m − 1, n)
серия элементарных преобразований Гивенса, задаваемая матрицей P
j
раз-
мера (m + 1 − j) × (m + 1 − j), выбрана, как сказано ниже.
122

Страницы