ВУЗ:
Составители:
7 Ортогональные преобразования
случай ниже и рассматривается, при этом из (7.3), (7.4) следует ˆx = A
+
z и
A
+
= (A
T
A)
−1
A
T
.
Замечание 7.1. Слагаемое ˆx
0
, A
+
z в (7.4) есть единственное МНК-
решение с минимальной нормой, называемое нормальным псевдорешением.
Оно ортогонально второму слагаемому в (7.4), т. е. A
+
z ⊥ (I − A
+
A)y, и
лежит в пространстве строк матрицы A, т. е. ˆx
0
∈ R(A
T
) (подробнее см.
подразд. 10.4).
Таким образом, типичный для практики случай имеет формальное реше-
ние ˆx = ˆx
0
= (A
T
A)
−1
A
T
z, и вычислительная задача наименьш их квадратов
заключается в его эффективном отыскании. Об эт о м подробнее см. разд. 11 .
7.3 Ортогональные матрицы и наименьшие квадраты
В рассматриваемой задаче о наименьших квадратах имеем критерий
J(x) = kz − Axk
2
, A(m, n), m ≥ n, rank A = n. (7.5)
Пусть T , T (m, m), есть ма т рица некоторого ортогонального преобразов а-
ния. В силу свойства C (см. подразд. 7.1) запишем
J(x) = kT (z − Ax)k
2
= k(T z) −(T A)xk
2
. (7.6)
При таком представлении видно, что минимум критерия J(x), равный
J(ˆx), не зависит от T . Этом фактом можно воспользоваться, т. е. матрицу
T можно выбрать так, что (T A) приобретает привлекательную для вычис-
лений форму. Дейст в ительно, в подразд. 7. 4 и 7.7 м ы покажем, как можно
выбрать T , чтобы преобразованная матрица имела вид
T A =
R
0
}n
}m − n
(7.7)
с верхнетреугольным блоком R, rank R = n.
Если соответственно этому вектор T z разбить на блоки, т. е. записать
T z =
z
1
z
2
}n
}m − n
, (7.8)
то J(x) от (7.6) приводится к виду
J(x) = kz
1
− Rxk
2
+ kz
2
k
2
. (7.9)
110
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- …
- следующая ›
- последняя »
