Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 199 стр.

UptoLike

Составители:

Рубрика:

Теоретические основы

Пусть два вектора x ∈ R

и z ∈ R

связаны (в общем случае) прибли-

женным равенством z ≈ Ax. Требуется выбрать такое значение ¯x вектора

x, которое минимизирует квадрат отклонения v , z − Ax, т. е. найти

¯x = arg min

(z − Ax)

(z − Ax) .

Метод отыскания такого ¯x был предложен Лежандром в 1805 году в виде

алгебраической процедуры и об о снован как статистическая процедура Гаус-

сом в 1 8 0 9 году (хотя утверждается, что рукопись Гаусса была известна на

немецком языке уже с 1806 года [97]). Гаусс в 1809 году заявлял, что поль-

зовался э т им методом как алге б раической процедурой уже в 1795 году, чем

вызвал немалое раздражение Лежандра [137].

Таким образом, с момента в о зникновения метод наименьших квадратов

(МНК) рассма т ривае т ся как процедура алгебраическая или процедура ста-

тистическая, но какого-либо противопоставления этих процедур нет. Есть

лишь разные точки зрения: ставить задачу с позиций Линейной алгебры

(ЛА) или же с позиций Теории вероятностей (ТВ) и Математической стати-

стики (МС). ЛА придает задаче наименьших квадратов лаконичную форму,

позволяет анализировать все решения это й задачи и формулировать метод.

ТВ и МС дают возможность подходить к этой задаче не формально алгебра-

ически, а с точки зрения неопределенности, присущей реальным эксперимен-

тальным данным z. Замечате льно, что МС, формулируя задачу независимо

и совершенно в других терминах, приводит к тем же аналитическим реше-

ниям, что и ЛА. Можно говорить, что МС дает статистическую интерпре-

тацию для чисто алгебраической задачи и алгебраического метода решения

несовместных систем линейных алгебраических уравнений z ≈ Ax. Вычис-

лительная линейная алгебра (ВЛА) предлагает множество идей и подходов

для эффективной численной реализации МНК .