Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 200 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10 Теоретические основы
В настоящее временя МНК имеет множество приложений и эффективных
численных реализаций и часто излагается как раздел Эконометрики [ 1 9],
Математических методов обработки данных [49, 50], как Прикладной регрес-
сионный анализ [34] или Регрессионное моделирование [26].
Приводимый ниже материал имеет базовый теоретический характер.
В последующих разделах методы ВЛА применяются для изложения эффек-
тивных численных алгоритмов решения этих задач.
10.1 Конечномерные линейные пространства
Множество L в R
n
(L ⊆ R
n
) называется линейным подпространством
пространства R
n
всех вещественных n-мер ных
1
векторов, или, короче, под-
пространством в R
n
, если при любых скалярных величинах α и β принад-
лежность x ∈ L и y ∈ L влечет принадлежность αx + βy ∈ L. Это выража-
ется следующей формулой:
2
∀α, β ∈ R
1
((x ∈ L & y ∈ L) ⇒ (αx + βy ∈ L)) .
Линейная независимость сис темы {a
1
, . . . , a
m
} ∈ R
n
означает, что спра-
ведлива импликация
m
X
i=1
λ
i
a
i
= 0
!
⇒
m
∀
i=1
λ
i
= 0
,
в противном случае система называется линейно зависимой.
Подпространство L ⊆ R
n
называется m-мерным, т. е. имеющим размер-
ность dim L = m, если в нем имеется такая линейно независимая с ис т ема
векторов {a
1
, . . . , a
m
}, что добавление к этой системе любого вектора a ∈ R
n
дает уже линейно зависимую систему, с одержащую m + 1 векторов.
3
Это
выражае т ся следующей формулой:
∃
{a
1
, . . . , a
m
} ∈ L
m
X
i=1
λ
i
a
i
= 0
!
⇒
m
∀
i=1
λ
i
= 0
!!
&
&
∀a ∈ L
m
X
i=1
λ
i
a
i
+ λ
i+1
a = 0
!
& (λ
i+1
6= 0)
!!
.
1
n-мерный вектор содержит n-компонент.
2
Импликация A ⇒ B означает: «из A следует B», или «A влечет B», или «если A, то B».
3
Такая система {a
1
, . . . , a
m
} называется максимальной линейно независимой системой.
200

Страницы