Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 201 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10.1 Конечномерные линейные пространства
Так как λ
m+1
6= 0, то
a =
m
X
i=1
µ
i
a
i
, µ
i
= −λ
i
/λ
m+1
.
Следовательно, любой вектор a ∈ L, где dim L = m, может быть представ-
лен в виде линейной комбинации векторов {a
1
, . . . , a
m
}. Система векторов
{a
1
, . . . , a
m
}, обладающая этим свойс т в о м , образ ует базис в L. В этом случае
записывают L = L(a
1
, . . . , a
m
) и говорят, что L натянуто на {a
1
, . . . , a
m
}.
Если каждый вектор из L может быть выражен линейной комбинацией
системы векторов a
1
, . . . , a
m
, то L называют линейной оболочкой векторов
{a
1
, . . . , a
m
}.
Множество L
0
, состоящее из одного нулевого вектора 0, является подпро-
странством в R
n
размерности 0 и называется нулевым подпространством.
n-мерное евклидово пространство E
n
— это пространство R
n
, в котором
определено скалярное произведение двух векторов x и y по формуле (x , y) =
= x
1
y
1
+ ··· + x
n
y
n
= x
T
y.
4
Норма kx k вектора x ∈ E
n
равна (x, x)
1/2
,
то есть kxk
2
= x
T
x. Расстояние между x, y ∈ E
n
есть kx − yk. Векторы
x и y ортогональны, x ⊥ y, если их скалярное произведение равно нулю:
(x, y) = x
T
y = 0. Вектор v ∈ R
n
ортогонален к L, v ⊥ L, если он ортогонален
к любому вектору u ∈ L. Ортогональное дополнение к L, обозначаемое L
⊥
,
есть множество всех векторов в R
n
, каждый из которых ортогонален к L.
Теорема 10.1 ( [25]). Пусть L
0
⊂ L ⊂ R
n
. Тогда:
(1) существуют целое число m, 1 ≤ m < n, и ортонормированный базис
{a
1
, . . . , a
m
} в L. Если этот базис продолжить любым спос о б о м до орто-
нормированного базиса
a
1
, . . . , a
m
, a
m+1
, . . . , a
n
(10.1)
в R
n
, то линейное подпространство M с базисом a
m+1
, . . . , a
n
обладает
свойствами:
(2) M = L
⊥
,
(3) L = M
⊥
,
(4) для любого вектора x ∈ R
n
существует единственное разложение
x = ˆx + ˜x , ˆx ∈ L, ˜x ∈ M. (10.2)
4
Везде, где не оговорено противное, в этой книге рассматривается пространство вещественных чисел
и, кроме того, любой вектор ассоциируется с матрицей-столбцом.
201

Страницы