Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 202 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10 Теоретические основы
Доказательство.
(1) Так как L отлично от нулево го подпространства, L ⊃ L
0
, то в нем суще-
ствует вектор a, отличный от 0. Образуем нормальный (т. е. с единичной
нормой) вектор a
1
= a/kak. Если в L найдется вектор, ортогональный
к a
1
, нормируем его аналогично и обозначим a
2
. Если найдется вектор,
ортогональный к a
1
и к a
2
, нормируем е го и обозначим a
3
. Продолжая
этот процесс, завершим его построе нием ортонормированной системы
векторов {a
1
, . . . , a
m
}, где m ≥ 1 и m < n. Дейст в ительно, a
1
∈ L,
но m не может быть равно n. В противном случае векторы {a
1
, . . . , a
n
}
образовали бы базис в L (так как ортонормированные векторы линейно
независимы), что означало бы L = R
n
. Однако по условию L не совпа-
дает с R
n
(L ⊂ R
n
), поэтому m < n.
Построенная система {a
1
, . . . , a
m
} есть базис в L. Действительно, вместе
с векторами {a
1
, . . . , a
m
} к L принадлежат и все их линейные комбина-
ции, то есть векторы вида
u =
m
X
i=1
λ
i
a
i
, λ
i
= (u, a
i
) . (10.3)
Однако кроме них, других векторов в L нет. Допустив противное, сле-
довало бы считать, что и векторы вида
x =
m
X
i=1
(x, a
i
) a
i
+ y , (10.4)
где y 6= 0, входят в L, x ∈ L. А так как все a
i
∈ L, то и вектор
y = x −
m
X
i=1
(x, a
i
) a
i
следовало бы включить в L. Но для всех k = 1, . . . , m имеем
(y, a
k
) = (x, a
k
) −
m
X
i=1
(x, a
i
)(a
i
, a
k
) = 0 , (10.5)
то есть ∀k = 1, . . . , m (y ⊥ a
k
). Пронормированный вектор y/kyk
мог бы стать тем a
m+1
, который расширил бы систем у {a
1
, . . . , a
m
} до
системы {a
1
, . . . , a
m
, a
m+1
}. Однако это невозможно из-за доказанного
ограничения для числа m. Тем са м ым утверждение (1) т еоремы дока-
зано.
202

Страницы