Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10.1 Конечномерные линейные пространства
(2) Поскольку m < n, в R
n
существует вектор x, не зависящий линейно от
{a
1
, . . . , a
m
}, то есть выражаемый равенством (10.4), в котором y 6= 0,
y ∈ R
n
. Так как для y справедливо (10.5), построение базиса в R
n
можно
продолжить, как только что указ а но, до (10.1). Но любой вектор v ∈ M
определяется, подобно (10.3), в виде
v =
n
X
i=m+1
λ
i
a
i
, λ
i
= (v, a
i
) . (10.6)
Очевидно, что v ⊥ u, и если известно, что како й-нибудь вектор a ∈ R
n
ортогонален ко всем векторам из L, a ⊥ L, то a ∈ M. Тем самым
доказано утверждение (2) теоремы.
(3) Имеем u ⊥ v. Если для какого-нибудь вектора a ∈ R
n
известно, что
a ⊥ M, то a ∈ L. Доказано утверждение (3) теоремы.
(4) Наконец, если x – произвольный вектор в R
n
, то единственно его пред-
ста вление
x =
n
X
i=1
µ
i
a
i
,
так как единственным образом определяются числа µ
i
= (x, a
i
) = x
T
a
i
,
называемые числовыми проекциями вектора x на направление единич-
ного вектора a
i
. Отсюда единственно разложение (10.2 ), причем
ˆx =
m
X
k=1
µ
i
a
i
∈ L, ˜x =
n
X
k=m+1
µ
i
a
i
∈ M .
2
Теорема 10.1 содержится в стандартных курсах линейной алгебры [25]
и для метода наименьших квадратов может считаться отправной то чкой.
Ее называют теоремой об ортогональном разложении пространства R
n
и
формулируют также следующим образом [13 ].
Теорема 10.2. Если оба L и M ∈ R
n
и выполнено хотя бы одно из
следующих условий:
(1) L = M
⊥
(L состоит из векторов, о ртогональных к M),
(2) M = L
⊥
(M состоит из векторов, ортогональных к L),
(3) L и M взаимно ортогональны и dim L + dim M = n,
203

Страницы