Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 205 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10.2 Обобщение на гильбертовы пространства
В гильбертовых пространствах, обозначаемых H, сохраняются все основ-
ные определения.
Определение 10.1. Подпространством L векторного пространства X
называют любое подмножество L данного множества X, L ⊆ X, на котором
x, y ∈ L влечет αx + βy ∈ L для всех α, β ∈ R. При этом L называют
собственным подпространством, если L 6= X, т. е. L ⊂ X. Для любого мно-
жества L ⊆ X обозначение Sp {L} используют для множества всех конечных
линейных комбинаций элементов множества L. Множество Sp {L} называют
линейной оболочкой
5
.
В гильбертовых пространс т в а х, как и в конечномерных, понятие внутрен-
него (скалярного) произведения дает абстрактную формулировку концепции
угла, и как ре зультат, обобщенное понятие перпендикулярности.
Определение 10.2. Векторы x, y ∈ H называются ортогональными,
если (x, y) = 0, и это обозначают записью x ⊥ y. Если S ⊂ H есть любое
подмножество (и, в ос о б енности, если S есть подпространство) в H, тогда
пишут x ⊥ S, если ∀s ∈ S , x ⊥ s. Подобно этому, обозначение S ⊥ T для
двух подмножеств S и T в H, указывает, что все элеме нты подмножества S
ортогональны всем элементам подмножества T .
Приведем главный результат геометрии гильбертовых пространств. Он
называется Теоремой о проекции. Как и в с лучае конечномерных про-
странств (см. подразд. 10.1) он просто устанавливает тот факт, что кратчай-
ший путь от точки до плоскости ле ж ит на перпендикуляре от этой точки до
данной плоскости (рис. 10.1). Нижеследующая Теорема о проекции обобщает
этот результат на гильбертовы прост ранс т ва .
Теорема 10.3 (Теорема об ортогональной проекции [92]). Пусть L
есть соб ственное подпространство некоторого г ильбертова пространства H
и пусть x есть точка в H. Тогда x может быть единственным образом пред-
ставлено в форме
x = y + z
с y ∈ L и z ⊥ L. Кроме того , для всех w ∈ L имеем
kx − wk ≥ kx − yk,
где равенство возможно, если и то лько ес ли w = y (см. рис. 10.1 ).
Доказательство. См. [92]. 2
5
Span = оболочка.
205

Страницы