Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 207 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10.3 Проектирование в конечномерных пространствах
(4) N(A
T
) — левое нуль-пространство матрицы A, dim N(A
T
) = n − r,
при этом
N(A) = (R(A
T
))
⊥
, R(A
T
) = (N( A))
⊥
,
N(A
T
) = (R(A))
⊥
, R(A) = (N(A
T
))
⊥
.
Последнее означает, что система Ax = z имеет решение тогда и только тогда,
когда вектор z ⊥ N(A
T
), то есть z ∈ R(A) тогда и только тогда, когда z
ортогонален к каждому решению системы A
T
y = 0.
Базовые понятия, содержащиеся в этой теореме, широко используются в
дальнейшем.
Определение 10.3. Квадратная матрица P называется матрицей
проектирования или проектором на L, если (x − P x) ⊥ L, т. е. для всех
x ∈ R
n
проекция ˆx = P x.
Теорема 10.5.
(1) Проекционная матрица P обладает свойствами:
(i) P
2
= P (идемпотентност ь), (ii) P = P
T
(симметричность).
(2) Любая матрица P , обладающая этими свойствами, является проекцион-
ной матрицей, причем она проектирует любой вектор на свое простран-
ство столбцов, R(P ).
(3) Если L = L(a
1
, . . . , a
m
), a
i
∈ R
n
и {a
1
, . . . , a
m
} — базис в L, то
P = P
A
= A(A
T
A)
−1
A
T
, где A = [a
1
| ··· | a
m
] – матрица, столбцами
которой служат векторы a
i
(i = 1, 2, . . . , m).
Доказательство.
(1) Свойство (i). Определение проектора на L означает, что
∀x {P x = ˆx, x = ˆx + ˜x, ˆx ∈ L, ˜x ⊥ L, P ˜x = 0}.
Отсюда
∀x {P
2
x = P ˆx = P (x − ˜x) = P x − P ˜x = P x, (P
2
− P )x = 0}.
Следовательно, P
2
= P .
Свойство (ii). Имеем ∀x, y {P x ∈ L, (I − P )y ∈ L
⊥
}. Отсюда
(P x)
T
(I − P )y = 0, x
T
(P
T
− P
T
P )y = 0, P
T
= P
T
P, P =
= (P
T
P )
T
= P
T
P . Следовательно, P = P
T
.
207

Страницы