Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 209 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10.4 Наименьшие квадраты и псевдоинверсия
A, когда rank A = m. Эту матрицу удобно обозначить P
A
. Теорема 10.5
устанавливает, что в этом случае P
A
= A(A
T
A)
−1
A
T
, в то время как Тео-
рема 10.6 рассматривает частный, но для вычислений очень удобный под-
случай, когда A
T
A = I, при этом P
A
= AA
T
. На иболее общий случай проек-
тирования на R(A) , когда (n ×m)-матрица A произвольна и не ограничена
условием rank A = m, рассмотрен ниже (подразд. 10. 4 ).
10.4 Наименьшие квадраты и псевдоинверсия
Линейная задача наименьших квадратов возникает из необходимости
решать сис т ему линейных алге б раических уравнений Ax = z с произвольно
заданными (n × m)-матрицей A и правой частью z ∈ R
n
. При эт о м в силу
произвольности A и z система может оказаться несовместной (в этом слу-
чае правильнее писать Ax ≈ z) или же иметь одно или бесконечно много
решений x ∈ R
m
. Решение линейной системы Ax ≈ z в смысле наименьших
квадратов
6
определяют как вектор ¯x, доставляющий наименьшее значение
квадратическому критерию качества
J(x) = kz − Axk
2
= (z −Ax)
T
(z − A x) . (10.7)
Таким образом,
¯x , a rg min
x∈R
m
(z − Ax)
T
(z − A x) .
Очевидно, данное определение эквивалентно соглашению принять в каче-
стве МНК-решения любой вектор ¯x, если и только если A¯x = ˆz, где ˆz —
проекция z на R(A).
Теорема 10.7. МНК-решение ¯x с истемы Ax = z, где A = A(n, m),
удовлетворяет системе нормальных уравнений:
A
T
A¯x = a
T
z . (10.8)
Это решение вс егда существует, хотя может быть не единственным. Оно
единственно тогда и только тогда, когда A имеет полный столбцовый ранг,
rank A = m.
Доказательство. По определению ¯x имее м A¯x = ˆz, (z − ˆz) ⊥ Ac. Здесь
c — любой вектор из R
m
. Это означает, что
∀c ∈ R
m
, (Ac)
T
(z − ˆz) = c
T
(A
T
z − A
T
A¯x) = 0 .
6
Иначе, МНК-решение.
209

Страницы