Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 210 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10 Теоретические основы
Следовательно, A
T
z − a
T
A¯x = 0, т. е. ¯x удовлетворяет (10.8). Эта система
всегда с ов м естна, так как оба вектора A
T
z и A
T
(A¯x) принадлежат одному
и тому пространст в у R(A
T
) при ∀¯x ∈ R
m
. Для установления условия един-
ственности решения ¯x докажем промежуточный результат.
Лемма 10.1. Справедливы равенства:
(1) R(A
T
) = R(A
T
A) , (2) R(A) = R(AA
T
) ,
(3) N(A
T
) = N(AA
T
) , (4) N(A) = N(A
T
A) .
Доказательство. На основании соотношений подпространств из Тео-
ремы (10.4), утверждение (1) Леммы 10.1 эквивалентно утверждению (4);
аналогично этому, утверждение (2) Леммы 10.1 эквивалентно утверждению
(3). Поэтому достаточно доказать утверж дение (3) и утверждение (4). Чтобы
доказать совпадение N(A) с N(A
T
A), заметим, что A
T
Ax = 0, если Ax = 0.
В обратную сторону: если A
T
Ax = 0, то x
T
A
T
Ax = 0, т. е. kAxk
2
= 0,
что влечет Ax = 0. Таким образом, Ax = 0 эквивалентно A
T
Ax = 0, т. е.
N(A) = N(A
T
A). Аналогично устанавливает ся утверждение (3). 2
Завершая доказательство Теоремы 10.7, используем из то лько что дока-
занной Леммы 10.1 утверждение (1). Согласно этому утверждению, rank A =
= rank A
T
A. По условию теоремы, rank A = m. Отсюда, (m × m)-матрица
A
T
A системы (10.8) имеет полный ранг, т. е. (A
T
A)
−1
существует. В этом
случае имеем единственное МНК-решение ¯x = (A
T
A)
−1
A
T
z. Очевидно,
это возможно только при n ≥ m (переопределенные системы Ax = z) и
rank A = m (полный столбцовый ранг). В других случаях: (i) при n ≥ m,
но rank A = r < m, или (ii) при n < m, — решение ¯x не может быть един-
ственным. 2
Каким образом в случае неединственности ¯x выбрать среди ¯x единствен-
ный вектор ¯x
0
, в некотором смысле оптимальный?
Определение 10.4. Оптимальным МНК-решением, или иначе — нор-
мальным псевдорешением системы Ax = z, называется вектор ¯x
0
, кото-
рый имеет минимальную (евклидову) норму среди всех ¯x, удовлетворяющих
системе A¯x = ˆz, ˆz ∈ R(A ), (z − ˆz) ⊥ R(A).
Замечание 10.3. Пусть rank A = m, когда в согласии с Теоре-
мой (10.7) имеем единственное ¯x = (A
T
A)
−1
A
T
z, оно же ¯x
0
. Если теперь
210

Страницы