Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 211 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10.4 Наименьшие квадраты и псевдоинверсия
записать ¯x
0
= A
+
z, где A
+
— некоторая матрица, то для этого случая она
определяется как A
+
= (A
T
A)
−1
A
T
. Эта формула (при условии rank A = m)
включает в себя наиболее простой случай, когда n = m. Тогда A
−1
суще-
ствует, A
+
= A
−1
и ¯x
0
= A
−1
z, что с ов падает с обычным решением системы
Ax = z, которая при этих условиях есть стандартная совместная система
с квадратной матрицей A. Таким образо м , матрица A
+
обобщает понятие
обратной ма т рицы A
−1
на случай, когда матрица A в сис т еме Ax = z про-
извольна по своим размерам и рангу. В связи с этим она названа псевдооб-
ратной матрицей A
+
к (n ×m)-матрице A ; при rank A = m она, как выше
отмечено, равна (A
T
A)
−1
A
T
. Пере йдем к общему случаю для A
+
.
Определение 10.5. Псевдообратная матрица (в общем случае про-
извольной м а т рицы A) есть такая матрица A
+
, которая из всех реш ений ¯x
системы A¯x = ˆz, где ˆz ∈ R(A) и (z − ˆz) ⊥ R(A) при произвольном векторе
z, в ыбирает ¯x
0
с м инимальной нормой, определяя его как ¯x
0
= A
+
z.
Следствие 10.1. Проектор на R(A) = L(a
1
, . . . , a
m
), где все столбцы
a
1
, . . . , a
m
∈ R
n
матрицы A не о бязательно образуют линейно независимую
систему векторов, определяется выражением P
A
= AA
+
. Соответственно,
(I − AA
+
) — проектор на N(A
T
) = R(A)
⊥
.
Действительно, проекция любого вектора z на R(A) равна ˆz = A¯x
0
=
= (AA
+
)z = P
A
z, а ˜z = z − ˆz = (I − P
A
)z. 2
То, что ¯x
0
(а значит, и A
+
) существует, ясно из Теоремы 10.7 . Однако,
единствен ли вектор ¯x
0
? В каком подпространстве он лежит и как его найти?
Ответить на эти вопросы означает, по существ у, выяснить все свойст в а псев-
дообратной матрицы A
+
, поскольку приведенное для нее Определение 10.3
ее конструктивно не характеризует.
Теорема 10.8 ( [1]). Пусть x ∈ R
n
и A — матрица размера (n × m).
Среди все х векторов ¯x, минимизирующих kz − Axk
2
, то есть удовле т в о ряю-
щих уравнению
A¯x = ˆz , ˆz ∈ R(A) , (z − ˆz) ⊥ R(A) , (10.9)
или, что эквивалентно, систем е нормальных уравнений A
T
A¯x = A
T
z, век-
тор ¯x
0
, имеющий минимальную норму, я в ля ется единственным вектором из
R(A
T
), то есть вектором вида
¯x
0
= A
T
y , y ∈ R
n
.
211

Страницы